Страница 98 номер 147, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика

По формуле суммы для произвольных событий \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\), откуда \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)\).

Изобразим события \(A\) и \(B\) кругами внутри прямоугольника \(\Omega\). Круги делят прямоугольник на четыре части: \(A \cap \overline{B}\) — произошло только событие \(A\); \(A \cap B\) — произошли оба события; \(\overline{A} \cap B\) — произошло только событие \(B\); \(\overline{A \cup B}\) — не произошло ни одно из них. Событие \(A\) составлено из двух несовместных частей \(A \cap B\) и \(A \cap \overline{B}\), поэтому по формуле суммы для несовместных событий \(P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)\); так же \(P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)\). Часть вне кругов — событие, противоположное объединению: \(P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)\).

На диаграммах в каждой части стоит её вероятность, голубым залито событие \(A \cap B\); часть с вероятностью 0 не рисуем.

а) По условию \(P(A) = 0{,}7\), \(P(B) = 0{,}5\), \(P(A \cup B) = 0{,}7\).

\[\begin{aligned} P(A \cap B) &= 0{,}7 + 0{,}5 - 0{,}7 = 0{,}5; \\ P(A \cap \overline{B}) &= 0{,}7 - 0{,}5 = 0{,}2; \\ P(\overline{A} \cap B) &= 0{,}5 - 0{,}5 = 0; \\ P(\overline{A \cup B}) &= 1 - 0{,}7 = 0{,}3. \end{aligned}\]

Часть \(\overline{A} \cap B\) имеет вероятность 0, и на диаграмме её нет: круг \(B\) целиком лежит внутри круга \(A\).

б) По условию \(P(A) = 0{,}6\), \(P(B) = 0{,}3\), \(P(A \cup B) = 0{,}7\).

\[\begin{aligned} P(A \cap B) &= 0{,}6 + 0{,}3 - 0{,}7 = 0{,}2; \\ P(A \cap \overline{B}) &= 0{,}6 - 0{,}2 = 0{,}4; \\ P(\overline{A} \cap B) &= 0{,}3 - 0{,}2 = 0{,}1; \\ P(\overline{A \cup B}) &= 1 - 0{,}7 = 0{,}3. \end{aligned}\]

Все четыре части имеют положительную вероятность — круги пересекаются.

в) По условию \(P(A) = 0{,}3\), \(P(B) = 0{,}3\), \(P(A \cup B) = 0{,}6\).

\[\begin{aligned} P(A \cap B) &= 0{,}3 + 0{,}3 - 0{,}6 = 0; \\ P(A \cap \overline{B}) &= 0{,}3 - 0 = 0{,}3; \\ P(\overline{A} \cap B) &= 0{,}3 - 0 = 0{,}3; \\ P(\overline{A \cup B}) &= 1 - 0{,}6 = 0{,}4. \end{aligned}\]

Общая часть \(A \cap B\) имеет вероятность 0, и на диаграмме её нет: круги \(A\) и \(B\) не пересекаются, поэтому залитой части нет.

г) По условию \(P(A) = 0{,}9\), \(P(B) = 0{,}8\), \(P(A \cup B) = 1\).

\[\begin{aligned} P(A \cap B) &= 0{,}9 + 0{,}8 - 1 = 0{,}7; \\ P(A \cap \overline{B}) &= 0{,}9 - 0{,}7 = 0{,}2; \\ P(\overline{A} \cap B) &= 0{,}8 - 0{,}7 = 0{,}1; \\ P(\overline{A \cup B}) &= 1 - 1 = 0. \end{aligned}\]

Часть вне кругов имеет вероятность 0, и на диаграмме её нет: круги \(A\) и \(B\) вместе покрывают весь прямоугольник \(\Omega\).

Ответ: а) \(P(A \cap B) = 0{,}5\); б) \(P(A \cap B) = 0{,}2\); в) \(P(A \cap B) = 0\); г) \(P(A \cap B) = 0{,}7\).