Страница 108 номер 183, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика

По условию в турнире 16 игроков; игроки случайным образом разбиваются на пары, проигравший в паре выбывает, победитель выходит в следующий тур; все играют одинаково хорошо — в каждой встрече каждый игрок выигрывает с вероятностью \(0{,}5\). Будем считать, что жребий проводят перед каждым туром: все вышедшие в тур игроки заново случайным образом разбиваются на пары. Туров четыре: в них 16, 8, 4 и 2 игрока (финал).

Друзья могут встретиться только один раз — после встречи один из них выбывает, поэтому события \(A_k\) = «друзья встретятся в \(k\)-м туре» несовместны, а событие \(A\) = «друзья встретятся в каком-то туре» — их объединение. Пусть \(B_k\) = «оба друга вышли в \(k\)-й тур, не встретившись раньше». Если это произошло, жребий даёт первому другу в соперники с равными шансами любого из остальных игроков тура. Если друзья не встретились, они играют в разных встречах. Будем считать, что результат одной встречи не влияет на результат другой; тогда оба друга выиграют с вероятностью \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = \frac{1}{4}\).

В первом туре соперник первого друга — любой из 15 игроков: \(P(A_1) = \frac{1}{15}\), а не встретятся друзья с вероятностью \(\frac{14}{15}\). По правилу умножения вероятностей:

\[P(B_2) = \frac{14}{15} \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{30}.\]

Во втором туре 8 игроков: друзья встретятся с вероятностью \(\frac{1}{7}\), не встретятся — с вероятностью \(\frac{6}{7}\):

\[\begin{aligned} P(A_2) &= \frac{7}{30} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{30}; \\ P(B_3) &= \frac{7}{30} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{20}. \end{aligned}\]

В третьем туре 4 игрока: друзья встретятся с вероятностью \(\frac{1}{3}\), не встретятся — с вероятностью \(\frac{2}{3}\); в финале они встречаются наверняка:

\[\begin{aligned} P(A_3) &= \frac{1}{20} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{60}; \\ P(A_4) &= P(B_4) = \frac{1}{20} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{120}. \end{aligned}\]

По формуле суммы для несовместных событий:

\[\begin{aligned} &P(A) = \frac{1}{15} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60} + \frac{1}{120} = {} \\ &= \frac{8 + 4 + 2 + 1}{120} = \frac{15}{120} = \frac{1}{8} = 0{,}125. \end{aligned}\]

Если же жребий проводят один раз, перед первым туром, и по сетке заранее известно, кто с кем встретится в каждом туре, ответ тот же. Второму другу с равными шансами достаётся любое из 15 мест сетки: в паре с первым — 1 место, в соседней паре — 2 места, в соседней четвёрке — 4 места, в другой половине сетки — 8 мест. Чтобы встретиться во втором, третьем или четвёртом туре, каждый из друзей должен выиграть все свои встречи до этого тура: по одной — с вероятностью \(\frac{1}{4}\), по две — \(\frac{1}{16}\), по три — \(\frac{1}{64}\):

\[\begin{aligned} &\frac{1}{15} + \frac{2}{15} \cdot \frac{1}{4} + \frac{4}{15} \cdot \frac{1}{16} + \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{64} = {} \\ &= \frac{1}{15} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60} + \frac{1}{120} = \frac{1}{8}. \end{aligned}\]

Ответ: друзья встретятся в каком-то туре с вероятностью \(\frac{1}{8} = 0{,}125\).