Страница 98 номер 150, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика

Глава 4. Сложение и умножение вероятностей. §8. Сложение вероятностей. Страница 98. Номер 150

Решение:

В отделении банка два банкомата.

\(A\) = «к концу дня купюры останутся в первом автомате»;

\(B\) = «к концу дня купюры останутся во втором автомате».

Тогда \(\overline{A}\) = «купюры закончатся в первом автомате», \(\overline{B}\) = «купюры закончатся во втором автомате»; по условию \(P(\overline{A}) = 0{,}1\), \(P(\overline{B}) = 0{,}3\), \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}06\).

а) «Купюры останутся в обоих автоматах» — событие \(A \cap B\): \(P(A \cap B) = 1 - P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(\overline{A} \cup \overline{B})\).

\[P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}1 + 0{,}3 - 0{,}06 = 0{,}34.\]

\(P(A \cap B) = 1 - 0{,}34 = 0{,}66\).

б) «Купюры останутся хотя бы в одном автомате» — событие \(A \cup B\); противоположное ему событие \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\) — купюры закончатся в обоих автоматах, поэтому

\[P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94.\]

в) «Купюры закончатся хотя бы в одном автомате» — событие \(\overline{A} \cup \overline{B}\), его вероятность найдена в пункте а): \(P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0{,}34\).

г) «Купюры закончатся только во втором банкомате, а в первом останутся» — событие \(A \cap \overline{B}\). Событие \(\overline{B}\) составлено из двух несовместных частей \(A \cap \overline{B}\) и \(\overline{A} \cap \overline{B}\): \(P(\overline{B}) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap \overline{B})\), откуда

\[P(A \cap \overline{B}) = P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}3 - 0{,}06 = 0{,}24.\]

д) «Купюры закончатся только в первом банкомате, а во втором останутся» — событие \(\overline{A} \cap B\). Событие \(\overline{A}\) составлено из несовместных частей \(\overline{A} \cap B\) и \(\overline{A} \cap \overline{B}\), поэтому

\[P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}1 - 0{,}06 = 0{,}04.\]

Проверка: события \(A \cap B\), \(A \cap \overline{B}\), \(\overline{A} \cap B\) и \(\overline{A} \cap \overline{B}\) попарно несовместны и вместе составляют достоверное событие; \(0{,}66 + 0{,}24 + 0{,}04 + 0{,}06 = 1\).

Ответ: к концу дня купюры: а) останутся в обоих автоматах с вероятностью 0,66; б) останутся хотя бы в одном автомате с вероятностью 0,94; в) закончатся хотя бы в одном автомате с вероятностью 0,34; г) закончатся только во втором банкомате с вероятностью 0,24; д) закончатся только в первом банкомате с вероятностью 0,04.

Решение:

В отделении банка два банкомата. Вероятность того, что к концу дня купюры закончатся в первом автомате, равна 0,1, во втором — 0,3, в обоих автоматах — 0,06. Рассмотрим два события:

\(A\) = «к концу дня купюры останутся в первом автомате»;

\(B\) = «к концу дня купюры останутся во втором автомате».

Тогда \(\overline{A}\) = «купюры закончатся в первом автомате», \(\overline{B}\) = «купюры закончатся во втором автомате», и по условию \(P(\overline{A}) = 0{,}1\), \(P(\overline{B}) = 0{,}3\), \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}06\). То, что первый автомат ещё и принимает купюры, для решения не нужно: все вероятности даны.

а) «Купюры останутся в обоих автоматах» — это событие \(A \cap B\). Перейдём к противоположному событию и применим закон де Моргана: \(P(A \cap B) = 1 - P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(\overline{A} \cup \overline{B})\). По формуле суммы для произвольных событий

\[P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}1 + 0{,}3 - 0{,}06 = 0{,}34.\]

Отсюда \(P(A \cap B) = 1 - 0{,}34 = 0{,}66\).

б) «Купюры останутся хотя бы в одном автомате» — это событие \(A \cup B\). По закону де Моргана противоположное ему событие \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\) — купюры закончатся в обоих автоматах, поэтому

\[P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94.\]

в) «Купюры закончатся хотя бы в одном автомате» — это событие \(\overline{A} \cup \overline{B}\), его вероятность найдена в пункте а): \(P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0{,}34\).

г) «Купюры закончатся только во втором банкомате, а в первом останутся» — это событие \(A \cap \overline{B}\). Событие \(\overline{B}\) составлено из двух несовместных частей: \(A \cap \overline{B}\) (в первом автомате купюры остались) и \(\overline{A} \cap \overline{B}\) (закончились и в первом). Поэтому \(P(\overline{B}) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap \overline{B})\), откуда

\[P(A \cap \overline{B}) = P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}3 - 0{,}06 = 0{,}24.\]

д) «Купюры закончатся только в первом банкомате, а во втором останутся» — это событие \(\overline{A} \cap B\). Так же, как в пункте г), событие \(\overline{A}\) составлено из несовместных частей \(\overline{A} \cap B\) и \(\overline{A} \cap \overline{B}\), поэтому

\[P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}1 - 0{,}06 = 0{,}04.\]