Вопросы к пункту 1 «Условная вероятность» на странице 102, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика
Вопросы к пункту 1 «Условная вероятность».
Например, симметричный кубик бросают один раз; \(A\) = «выпадет 6 очков», \(B\) = «выпадет чётное число очков». Все 6 исходов равновозможны: \(P(A) = \frac{1}{6}\). Если \(B\) произошло, остаются 3 равновозможных исхода — 2, 4, 6, из них событию \(A\) благоприятен один: \(P(A \mid B) = \frac{1}{3}\).
Ответ: условной вероятностью события \(A\) при условии события \(B\) называется вероятность события \(A\), вычисленная при условии, что событие \(B\) произошло; обозначается она \(P(A \mid B)\).
\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.\]
Формула имеет смысл только при \(P(B) \ne 0\).
Ответ: \(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\), где \(P(B) \ne 0\); для опыта с равновозможными исходами \(P(A \mid B) = \frac{n_{AB}}{n_B}\), где \(n_B\) — число исходов, благоприятных для события \(B\), а \(n_{AB}\) — для события \(A \cap B\).
В формуле \(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) на \(P(B) = 0\) делить нельзя. Если у каждого исхода опыта вероятность положительна, вероятность 0 имеет только невозможное событие \(B = \varnothing\) — условие «событие \(B\) произошло» невыполнимо; например, \(B\) = «при броске кубика выпадет 7 очков».
Ответ: для событий \(B\) с вероятностью \(P(B) = 0\), например для невозможного события.
Событие \(\Omega\) достоверное — в него входят все исходы опыта: \(A \cap \Omega = A\), \(P(\Omega) = 1\).
\[P(A \mid \Omega) = \frac{P(A \cap \Omega)}{P(\Omega)} = \frac{P(A)}{1} = P(A).\]
Ответ: \(P(A \mid \Omega) = P(A)\).
Вопросы к пункту 1 «Условная вероятность».
Условной вероятностью события \(A\) при условии события \(B\) называется вероятность события \(A\), вычисленная при условии, что событие \(B\) произошло. Обозначается она \(P(A \mid B)\) — в отличие от обычной, безусловной вероятности \(P(A)\), которую находят до начала опыта.
Например, кубик бросают один раз; \(A\) = «выпадет 6 очков», \(B\) = «выпадет чётное число очков». Кубик симметричный, все 6 исходов равновозможны, поэтому \(P(A) = \frac{1}{6}\). Если известно, что событие \(B\) произошло, исходы 1, 3, 5 исключаются: остаются 3 равновозможных исхода — 2, 4, 6, и из них событию \(A\) благоприятен один. Значит, \(P(A \mid B) = \frac{1}{3}\).
Ответ: условной вероятностью события \(A\) при условии события \(B\) называется вероятность события \(A\), вычисленная при условии, что событие \(B\) произошло; обозначается она \(P(A \mid B)\).
Условная вероятность события \(A\) при условии события \(B\) равна вероятности пересечения \(A \cap B\), делённой на вероятность события \(B\):
\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.\]
Формула имеет смысл только при \(P(B) \ne 0\). Если у опыта \(n\) равновозможных исходов, то после того, как событие \(B\) произошло, остаются \(n_B\) благоприятных для него исходов, по-прежнему равновозможных; событию \(A\) из них благоприятны те \(n_{AB}\) исходов, которые входят в пересечение \(A \cap B\). Поэтому \(P(A \mid B) = \frac{n_{AB}}{n_B}\); разделив числитель и знаменатель этой дроби на \(n\), получим общую формулу.
Например, при одном броске кубика для событий \(A\) = «выпадет 6 очков» и \(B\) = «выпадет чётное число очков» пересечению \(A \cap B\) благоприятен один исход из шести, поэтому \(P(A \mid B) = \frac{1}{6} : \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\).
Ответ: \(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\), где \(P(B) \ne 0\); для опыта с равновозможными исходами \(P(A \mid B) = \frac{n_{AB}}{n_B}\), где \(n_B\) — число исходов, благоприятных для события \(B\), а \(n_{AB}\) — для события \(A \cap B\).
Условная вероятность \(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) не имеет смысла для событий \(B\), вероятность которых равна нулю: на \(P(B) = 0\) делить нельзя. Да и по смыслу требование \(P(B) \ne 0\) естественно: в опыте, где у каждого исхода вероятность положительна, вероятность 0 имеет только невозможное событие \(B = \varnothing\), а оно произойти не может — условие «событие \(B\) произошло» невыполнимо. Например, \(B\) = «при броске кубика выпадет 7 очков».
Ответ: для событий \(B\) с вероятностью \(P(B) = 0\), например для невозможного события.
Событие \(\Omega\) — достоверное: в него входят все исходы опыта, поэтому \(A \cap \Omega = A\) и \(P(\Omega) = 1\). По формуле условной вероятности:
\[P(A \mid \Omega) = \frac{P(A \cap \Omega)}{P(\Omega)} = \frac{P(A)}{1} = P(A).\]
Условие «произошло достоверное событие» не исключает ни одного исхода, поэтому вероятность события \(A\) не меняется: безусловную вероятность можно считать условной вероятностью относительно \(\Omega\). Например, при броске кубика для события \(A\) = «выпадет 6 очков» \(P(A \mid \Omega) = P(A) = \frac{1}{6}\).
Ответ: \(P(A \mid \Omega) = P(A)\).
