Страница 108 номер 177, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Спортсмен-биатлонист должен поразить 3 мишени четырьмя выстрелами. Каждый выстрел попадает в цель с вероятностью 0,8. С какой вероятностью биатлонисту не придётся бежать штрафные круги?
Будем считать, что выстрелы независимы: результат одного выстрела не влияет на другие. Каждый выстрел попадает в цель с вероятностью \(0{,}8\) и не попадает с вероятностью \(1 - 0{,}8 = 0{,}2\). Штрафные круги бежать не придётся, если все 3 мишени будут поражены, то есть из четырёх выстрелов в цель попадут не меньше трёх — промахов будет не больше одного. Если после третьего попадания биатлонист больше не стреляет, вероятность та же: недостающий выстрел можно сделать мысленно.
\(A\) = «биатлонисту не придётся бежать штрафные круги» — объединение несовместных событий: «промахов не будет» и «единственный промах будет при первом (втором, третьем, четвёртом) выстреле».
\(0{,}8^4 = 0{,}4096\) — вероятность того, что все четыре выстрела попадут в цель.
\(0{,}2 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}2 \cdot 0{,}512 = 0{,}1024\) — вероятность каждого из четырёх событий с одним промахом.
\[P(A) = 0{,}4096 + 4 \cdot 0{,}1024 = 0{,}4096 + 0{,}4096 = 0{,}8192.\]
Ответ: биатлонисту не придётся бежать штрафные круги с вероятностью \(0{,}8192\).
Спортсмен-биатлонист должен поразить 3 мишени четырьмя выстрелами. Каждый выстрел попадает в цель с вероятностью 0,8. С какой вероятностью биатлонисту не придётся бежать штрафные круги?
Будем считать, что выстрелы независимы: результат одного выстрела не влияет на другие. Каждый выстрел попадает в цель с вероятностью \(0{,}8\) и не попадает с вероятностью \(1 - 0{,}8 = 0{,}2\). Штрафные круги бежать не придётся, если все 3 мишени будут поражены, то есть из четырёх выстрелов в цель попадут не меньше трёх — промахов будет не больше одного. Если после третьего попадания биатлонист больше не стреляет, вероятность та же: недостающий выстрел можно сделать мысленно, и три мишени будут поражены тогда и только тогда, когда из четырёх выстрелов не меньше трёх попаданий.
\(A\) = «биатлонисту не придётся бежать штрафные круги» — объединение несовместных событий: «промахов не будет» и «единственный промах будет при первом (втором, третьем, четвёртом) выстреле». По правилу умножения для независимых событий вероятность того, что все четыре выстрела попадут в цель, равна \(0{,}8^4 = 0{,}4096\), а вероятность каждого из четырёх событий с одним промахом — \(0{,}2 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}2 \cdot 0{,}512 = 0{,}1024\). По формуле суммы для несовместных событий:
\[P(A) = 0{,}4096 + 4 \cdot 0{,}1024 = 0{,}4096 + 0{,}4096 = 0{,}8192.\]
Ответ: биатлонисту не придётся бежать штрафные круги с вероятностью \(0{,}8192\).
