Вопросы к пункту 3 «Формула Байеса» на странице 119, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика

Вопросы к пункту 3 «Формула Байеса».

Формулу Байеса применяют, когда опыт может пройти по одной из нескольких гипотез \(H_1\), …, \(H_n\) — событий полной группы, — известны вероятности гипотез \(P(H_k)\) и условные вероятности \(P(A \mid H_k)\) некоторого события \(A\) при каждой из них, а опыт уже проведён: событие \(A\) произошло, но какая гипотеза верна, неизвестно. Формула позволяет вычислить условные вероятности гипотез при условии, что \(A\) произошло:

\[P(H_k \mid A) = \frac{P(H_k) \cdot P(A \mid H_k)}{P(H_1) \cdot P(A \mid H_1) + \ldots + P(H_n) \cdot P(A \mid H_n)}.\]

Знаменатель — вероятность \(P(A)\) по формуле полной вероятности. По известному следствию \(A\) формула пересчитывает вероятности его возможных причин \(H_k\). Например, если \(H\) = «человек болен», \(A\) = «анализ показал болезнь», то, зная, как часто встречается болезнь и как часто ошибается анализ, по формуле Байеса находят вероятность того, что человек с таким анализом действительно болен.

Ответ: формулу Байеса применяют, когда известны вероятности гипотез \(H_1\), …, \(H_n\) (полной группы событий) и условные вероятности \(P(A \mid H_k)\), а в опыте произошло событие \(A\); она позволяет вычислить вероятности гипотез \(P(H_k \mid A)\) с учётом того, что событие \(A\) произошло.

Априорные вероятности гипотез — их вероятности \(P(H_1)\), …, \(P(H_n)\), известные до опыта (от латинского a priori — «до опыта»). Апостериорные — условные вероятности тех же гипотез \(P(H_1 \mid A)\), …, \(P(H_n \mid A)\), пересмотренные после опыта, в котором произошло событие \(A\) (a posteriori — «после опыта»); их находят по формуле Байеса.

Например, в первой коробке 1 белый и 3 чёрных шара, во второй — 3 белых и 1 чёрный; коробку выбирают наугад и вынимают из неё наугад один шар. Априорные вероятности гипотез \(H_1\) = «выбрана первая коробка» и \(H_2\) = «выбрана вторая коробка» равны \(\frac{1}{2}\). Пусть вынут белый шар — произошло событие \(A\). Тогда \(P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8}\), и апостериорные вероятности равны \(P(H_1 \mid A) = \frac{1}{8} : \frac{4}{8} = \frac{1}{4}\) и \(P(H_2 \mid A) = \frac{3}{8} : \frac{4}{8} = \frac{3}{4}\): после опыта вторая коробка стала втрое вероятнее первой.

Ответ: априорные вероятности гипотез — их вероятности \(P(H_k)\) до опыта; апостериорные — условные вероятности \(P(H_k \mid A)\) тех же гипотез после опыта, в котором произошло событие \(A\).

Гипотезы \(H\) и \(\overline{H}\) образуют полную группу, поэтому знаменатель формулы — вероятность \(P(A)\) по формуле полной вероятности — состоит из двух слагаемых:

\[P(H \mid A) = \frac{P(H) \cdot P(A \mid H)}{P(H) \cdot P(A \mid H) + P(\overline{H}) \cdot P(A \mid \overline{H})}.\]

Для гипотезы \(\overline{H}\) в числителе стоит другое слагаемое того же знаменателя:

\[P(\overline{H} \mid A) = \frac{P(\overline{H}) \cdot P(A \mid \overline{H})}{P(H) \cdot P(A \mid H) + P(\overline{H}) \cdot P(A \mid \overline{H})}.\]

Сумма этих двух вероятностей равна 1.

Ответ: \(P(H \mid A) = \frac{P(H) \cdot P(A \mid H)}{P(A)}\), где \(P(A) = P(H) \cdot P(A \mid H) + P(\overline{H}) \cdot P(A \mid \overline{H})\); для гипотезы \(\overline{H}\) в числителе стоит \(P(\overline{H}) \cdot P(A \mid \overline{H})\).