Страница 99 номер 161, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(A\) = «композиция будет звучать не короче 3 мин»;
\(B\) = «композиция будет звучать не длиннее 5 мин»;
\(C\) = «композиция будет звучать больше 10 мин»;
\(D\) = «композиция будет звучать дольше 5 мин, но не дольше 10 мин».
По условию \(P(A) = 0{,}95\), \(P(B) = 0{,}2\), \(P(C) = 0{,}15\). Длительность от 3 до 5 мин понимаем как «не короче 3 мин и не длиннее 5 мин» — это событие \(A \cap B\), а длительность от 5 до 10 мин — как «дольше 5 мин, но не дольше 10 мин» — это событие \(D\).
От 3 до 5 мин. Хотя бы одно из событий \(A\), \(B\) происходит при любой длительности: если композиция короче 3 мин, то она тем более не длиннее 5 мин. Значит, \(A \cup B\) — достоверное событие и \(P(A \cup B) = 1\), откуда
\[P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}95 + 0{,}2 - 1 = 0{,}15.\]
От 5 до 10 мин. При любой длительности происходит ровно одно из трёх событий: \(B\) (не длиннее 5 мин), \(D\) (дольше 5 мин, но не дольше 10 мин) или \(C\) (больше 10 мин). Значит, события \(B\) и \(C\) несовместны, а событие \(D\) противоположно их объединению: \(D = \overline{B \cup C}\).
\[\begin{aligned} P(B \cup C) &= P(B) + P(C) = 0{,}2 + 0{,}15 = 0{,}35; \\ P(D) &= 1 - P(B \cup C) = 1 - 0{,}35 = 0{,}65. \end{aligned}\]
Ответ: длительность композиции будет от 3 до 5 мин с вероятностью 0,15, от 5 до 10 мин — с вероятностью 0,65.
Вероятность того, что следующая композиция диджея будет звучать больше 10 мин, равна 0,15, не длиннее 5 мин — 0,2, не короче 3 мин — 0,95. Рассмотрим события:
\(A\) = «композиция будет звучать не короче 3 мин»;
\(B\) = «композиция будет звучать не длиннее 5 мин»;
\(C\) = «композиция будет звучать больше 10 мин»;
\(D\) = «композиция будет звучать дольше 5 мин, но не дольше 10 мин».
По условию \(P(A) = 0{,}95\), \(P(B) = 0{,}2\), \(P(C) = 0{,}15\). Длительность от 3 до 5 мин будем понимать как «не короче 3 мин и не длиннее 5 мин» — это событие \(A \cap B\), а длительность от 5 до 10 мин — как «дольше 5 мин, но не дольше 10 мин» — это событие \(D\).
От 3 до 5 мин. Хотя бы одно из событий \(A\), \(B\) происходит при любой длительности: если композиция короче 3 мин, то она тем более не длиннее 5 мин. Значит, \(A \cup B\) — достоверное событие и \(P(A \cup B) = 1\). По формуле суммы для произвольных событий
\[P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}95 + 0{,}2 - 1 = 0{,}15.\]
От 5 до 10 мин. При любой длительности происходит ровно одно из трёх событий: \(B\) (не длиннее 5 мин), \(D\) (дольше 5 мин, но не дольше 10 мин) или \(C\) (больше 10 мин). Значит, события \(B\) и \(C\) несовместны, а событие \(D\) противоположно их объединению: \(D = \overline{B \cup C}\). Поэтому
\[\begin{aligned} P(B \cup C) &= P(B) + P(C) = 0{,}2 + 0{,}15 = 0{,}35; \\ P(D) &= 1 - P(B \cup C) = 1 - 0{,}35 = 0{,}65. \end{aligned}\]
Ответ: длительность композиции будет от 3 до 5 мин с вероятностью 0,15, от 5 до 10 мин — с вероятностью 0,65.
