Страница 98 номер 151, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Известно, что \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}3\). Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь вероятность события \(A \cap B\)? вероятность события \(A \cup B\)?
\[P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}3 - P(A \cap B) = 0{,}7 - P(A \cap B).\]
Вероятность события \(A \cap B\). \(P(A \cap B) \geqslant 0\) — вероятность любого события неотрицательна. Событие \(B\) составлено из двух несовместных частей \(A \cap B\) и \(\overline{A} \cap B\): \(P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)\), а \(P(\overline{A} \cap B) \geqslant 0\), поэтому \(P(A \cap B) \leqslant P(B) = 0{,}3\).
Обе границы достигаются. Пусть из 10 карточек с номерами от 1 до 10 наугад вынимают одну; все 10 исходов равновозможны, вероятность каждого равна 0,1. Возьмём \(A\) = «номер не больше 4» = \(\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}\), \(P(A) = 0{,}4\).
Первый пример: \(B\) = «номер от 5 до 7» = \(\{5,\ 6,\ 7\}\), \(P(B) = 0{,}3\); общих исходов у событий \(A\) и \(B\) нет: \(A \cap B = \varnothing\), \(P(A \cap B) = 0\).
Второй пример: \(B\) = «номер не больше 3» = \(\{1,\ 2,\ 3\}\), \(P(B) = 0{,}3\); событие \(B\) — часть события \(A\): \(A \cap B = B\), \(P(A \cap B) = 0{,}3\).
Вероятность события \(A \cup B\). Чем больше \(P(A \cap B)\), тем меньше \(P(A \cup B)\).
Наибольшее значение \(P(A \cup B) = 0{,}7 - 0 = 0{,}7\) — в первом примере, где \(A \cup B = \{1,\ 2,\ \ldots,\ 7\}\).
Наименьшее значение \(P(A \cup B) = 0{,}7 - 0{,}3 = 0{,}4\) — во втором примере, где \(A \cup B = A\).
Ответ: вероятность события \(A \cap B\): наибольшее значение — 0,3, наименьшее — 0; вероятность события \(A \cup B\): наибольшее значение — 0,7, наименьшее — 0,4.
Известно, что \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}3\). Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь вероятность события \(A \cap B\)? вероятность события \(A \cup B\)?
По условию \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}3\). По формуле суммы для произвольных событий
\[P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}3 - P(A \cap B) = 0{,}7 - P(A \cap B).\]
Поэтому границы для \(P(A \cup B)\) получим из границ для \(P(A \cap B)\).
Вероятность события \(A \cap B\). Вероятность любого события неотрицательна, поэтому \(P(A \cap B) \geqslant 0\). Событие \(B\) составлено из двух несовместных частей: \(A \cap B\) и \(\overline{A} \cap B\). По формуле суммы для несовместных событий \(P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)\), а \(P(\overline{A} \cap B) \geqslant 0\), поэтому \(P(A \cap B) \leqslant P(B) = 0{,}3\).
Обе границы достигаются. Пусть из 10 карточек с номерами от 1 до 10 наугад вынимают одну; все 10 исходов равновозможны, вероятность каждого равна 0,1. Возьмём \(A\) = «номер не больше 4» = \(\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}\), \(P(A) = 0{,}4\).
Первый пример: \(B\) = «номер от 5 до 7» = \(\{5,\ 6,\ 7\}\), \(P(B) = 0{,}3\). Общих исходов у событий \(A\) и \(B\) нет: \(A \cap B = \varnothing\), \(P(A \cap B) = 0\).
Второй пример: \(B\) = «номер не больше 3» = \(\{1,\ 2,\ 3\}\), \(P(B) = 0{,}3\). Событие \(B\) — часть события \(A\): \(A \cap B = B\), \(P(A \cap B) = 0{,}3\).
Вероятность события \(A \cup B\). Из равенства \(P(A \cup B) = 0{,}7 - P(A \cap B)\) видно: чем больше \(P(A \cap B)\), тем меньше \(P(A \cup B)\). Наибольшее значение \(P(A \cup B) = 0{,}7 - 0 = 0{,}7\) — в первом примере, где \(A \cup B = \{1,\ 2,\ \ldots,\ 7\}\); наименьшее значение \(P(A \cup B) = 0{,}7 - 0{,}3 = 0{,}4\) — во втором, где \(A \cup B = A\).
Ответ: вероятность события \(A \cap B\): наибольшее значение — 0,3, наименьшее — 0; вероятность события \(A \cup B\): наибольшее значение — 0,7, наименьшее — 0,4.
