Вопросы к пункту 1 «Дерево вероятностей» на странице 113, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика
Вопросы к пункту 1 «Дерево вероятностей».
Дерево — связный граф без циклов; в нём между любыми двумя вершинами ровно одна цепь, а рёбер на одно меньше, чем вершин.
Пример — дерево опыта «монету бросают дважды»: 7 вершин (корень, вершины О и Р — результат первого броска, листья ОО, ОР, РО, РР), \(7 - 1 = 6\) — рёбер.
Ответ: деревом называется связный граф без циклов.
Элементарным событиям соответствуют листья — конечные вершины, из которых не выходит ни одного ребра: в них опыт заканчивается. Остальные вершины — корень и промежуточные состояния опыта.
Пример: из коробки, где лежат 2 белых (Б) и 3 чёрных (Ч) шара, наугад вынимают один за другим два шара. Из корня — рёбра к вершинам Б и Ч (каким оказался первый шар), из каждой из них — ещё по два ребра; листья ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ — четыре элементарных события, вершины Б и Ч — промежуточные состояния, когда вынут только первый шар.
Ответ: элементарным событиям соответствуют листья — конечные вершины дерева, из которых не выходит ни одного ребра.
К каждому листу из корня ведёт единственный путь; на каждом его ребре — вероятность очередного шага при условии, что произошли все предыдущие события цепочки. По правилу умножения вероятность листа равна произведению вероятностей на всех рёбрах пути.
Опыт с шарами: \(P(\text{БЧ}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{10}\) — первый шар белый с вероятностью \(\frac{2}{5}\), второй при этом условии чёрный с вероятностью \(\frac{3}{4}\) (осталось 4 шара, из них 3 чёрных).
Ответ: нужно перемножить вероятности, записанные на всех рёбрах пути от корня к листу этого элементарного события.
Вероятности всех листьев, благоприятных для события (каждая — произведение вероятностей по пути от корня), складывают: элементарные события попарно несовместны.
В опыте с шарами событию «вынуты шары разного цвета» благоприятны листья БЧ и ЧБ:
\(P(\text{БЧ}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{10}\);
\(P(\text{ЧБ}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}\);
\(\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}\) — вероятность события.
Ответ: нужно сложить вероятности всех листьев, благоприятных для этого события; вероятность каждого листа — произведение вероятностей на пути к нему от корня.
Вопросы к пункту 1 «Дерево вероятностей».
Деревом называется связный граф без циклов. В дереве между любыми двумя вершинами есть ровно одна цепь, а рёбер на одно меньше, чем вершин. Например, дерево опыта «монету бросают дважды» связно и не имеет циклов: у него 7 вершин — корень, вершины О и Р (результат первого броска) и четыре листа ОО, ОР, РО, РР — и \(7 - 1 = 6\) рёбер.
Ответ: деревом называется связный граф без циклов.
Элементарным событиям — исходам всего опыта — соответствуют листья дерева: конечные вершины, из которых не выходит ни одного ребра, потому что в них опыт заканчивается. Остальные вершины — корень и промежуточные состояния опыта.
Например, из коробки, где лежат 2 белых и 3 чёрных шара, наугад вынимают один за другим два шара. Обозначим белый шар буквой Б, чёрный — буквой Ч. Из корня дерева этого опыта выходят два ребра — к вершинам Б и Ч (каким оказался первый шар), из каждой из них — ещё по два ребра. Листья ББ, БЧ, ЧБ, ЧЧ — четыре элементарных события опыта, а вершины Б и Ч — промежуточные состояния, когда вынут только первый шар.
Ответ: элементарным событиям соответствуют листья — конечные вершины дерева, из которых не выходит ни одного ребра.
К каждому листу из корня ведёт единственный путь. На каждом его ребре записана вероятность очередного шага при условии, что произошли все предыдущие события цепочки. По правилу умножения вероятностей вероятность листа равна произведению вероятностей на всех рёбрах этого пути.
Например, в опыте с шарами (2 белых и 3 чёрных) первый шар белый с вероятностью \(\frac{2}{5}\), а второй при этом условии чёрный с вероятностью \(\frac{3}{4}\) (осталось 4 шара, из них 3 чёрных), поэтому \(P(\text{БЧ}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{10}\).
Ответ: нужно перемножить вероятности, записанные на всех рёбрах пути от корня к листу этого элементарного события.
Нужно найти все листья, благоприятные для этого события, вычислить вероятность каждого из них (произведение вероятностей по пути от корня) и сложить найденные вероятности: элементарные события попарно несовместны.
Например, в опыте с шарами событию «вынуты шары разного цвета» благоприятны листья БЧ и ЧБ: \(P(\text{БЧ}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{10}\), \(P(\text{ЧБ}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}\), а вероятность события равна \(\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}\).
Ответ: нужно сложить вероятности всех листьев, благоприятных для этого события; вероятность каждого листа — произведение вероятностей на пути к нему от корня.
