Страница 108 номер 176, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(A\) = «Петров придёт на лекцию», \(B\) = «Иванов придёт на лекцию», \(x = P(A)\), \(y = P(B)\). По условию студенты посещают лекции независимо друг от друга, причём Петров — чаще, чем Иванов, то есть \(x > y\); придут оба с вероятностью \(P(A \cap B) = 0{,}02\), не придёт ни один — с вероятностью \(0{,}72\).
События \(A\) и \(B\) независимы: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\), то есть \(xy = 0{,}02\).
«Не придёт ни один» — событие \(\overline{A} \cap \overline{B}\), противоположное событию \(A \cup B\) = «придёт хотя бы один»: \(P(A \cup B) = 1 - 0{,}72 = 0{,}28\). А \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\), то есть \(x + y - 0{,}02 = 0{,}28\), откуда \(x + y = 0{,}3\).
\[\begin{cases} x + y = 0{,}3, \\ xy = 0{,}02. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(y = 0{,}3 - x\); подставим во второе:
\[\begin{aligned} x(0{,}3 - x) &= 0{,}02; \\ x^2 - 0{,}3x + 0{,}02 &= 0; \\ D &= 0{,}3^2 - 4 \cdot 0{,}02 = 0{,}09 - 0{,}08 = 0{,}01; \\ x_1 &= \frac{0{,}3 + 0{,}1}{2} = 0{,}2; \\ x_2 &= \frac{0{,}3 - 0{,}1}{2} = 0{,}1. \end{aligned}\]
Тогда \(y_1 = 0{,}3 - 0{,}2 = 0{,}1\), \(y_2 = 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}2\). Петров приходит на лекции чаще, \(x > y\): подходит \(x = 0{,}2\), \(y = 0{,}1\).
Проверка: \(0{,}2 \cdot 0{,}1 = 0{,}02\);
\(1 - (0{,}2 + 0{,}1 - 0{,}02) = 1 - 0{,}28 = 0{,}72\).
Ответ: Петров приходит на лекцию с вероятностью \(0{,}2\), Иванов — с вероятностью \(0{,}1\).
Пусть \(A\) = «Петров придёт на лекцию», \(B\) = «Иванов придёт на лекцию», \(x = P(A)\), \(y = P(B)\). По условию студенты посещают лекции независимо друг от друга, причём Петров — чаще, чем Иванов, то есть \(x > y\); вероятность того, что придут оба, \(P(A \cap B) = 0{,}02\), а вероятность того, что не придёт ни один, равна \(0{,}72\).
События \(A\) и \(B\) независимы, поэтому \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\), то есть \(xy = 0{,}02\).
«Не придёт ни один» — это событие \(\overline{A} \cap \overline{B}\), противоположное событию \(A \cup B\) = «придёт хотя бы один». Значит, \(P(A \cup B) = 1 - 0{,}72 = 0{,}28\). По формуле суммы для произвольных событий \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\), то есть \(x + y - 0{,}02 = 0{,}28\), откуда \(x + y = 0{,}3\). Получили систему:
\[\begin{cases} x + y = 0{,}3, \\ xy = 0{,}02. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(y = 0{,}3 - x\); подставим во второе:
\[\begin{aligned} x(0{,}3 - x) &= 0{,}02; \\ x^2 - 0{,}3x + 0{,}02 &= 0; \\ D &= 0{,}3^2 - 4 \cdot 0{,}02 = 0{,}09 - 0{,}08 = 0{,}01; \\ x_1 &= \frac{0{,}3 + 0{,}1}{2} = 0{,}2; \\ x_2 &= \frac{0{,}3 - 0{,}1}{2} = 0{,}1. \end{aligned}\]
Тогда \(y_1 = 0{,}3 - 0{,}2 = 0{,}1\), \(y_2 = 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}2\). Петров приходит на лекции чаще, поэтому \(x > y\): подходит \(x = 0{,}2\), \(y = 0{,}1\).
Проверка: \(0{,}2 \cdot 0{,}1 = 0{,}02\);
\(1 - (0{,}2 + 0{,}1 - 0{,}02) = 1 - 0{,}28 = 0{,}72\).
Ответ: Петров приходит на лекцию с вероятностью \(0{,}2\), Иванов — с вероятностью \(0{,}1\).
