Страница 98 номер 145, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Могут ли события быть несовместными, если: а) \(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}3\); б) \(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}5\); в) \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}7\); г) \(P(A) = 0{,}1\), \(P(B) = 0{,}1\)?
Возьмём опыт: из 10 карточек с номерами от 1 до 10 наугад вынимают одну. Все 10 исходов равновозможны, поэтому вероятность события равна числу благоприятных для него номеров, делённому на 10.
а) \(A\) = «номер не больше 5» = \(\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}\), \(P(A) = \frac{5}{10} = 0{,}5\); \(B\) = «номер больше 7» = \(\{8,\ 9,\ 10\}\), \(P(B) = \frac{3}{10} = 0{,}3\). Общих исходов у этих событий нет — они несовместны.
б) \(A\) = «номер не больше 5» = \(\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}\), \(P(A) = 0{,}5\); \(B\) = «номер больше 5» = \(\{6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\}\), \(P(B) = \frac{5}{10} = 0{,}5\). Событие \(B = \overline{A}\) противоположно событию \(A\), а противоположные события общих исходов не имеют — значит, они несовместны.
в) Если бы события с вероятностями \(P(A) = 0{,}4\) и \(P(B) = 0{,}7\) были несовместны, то вероятность их объединения была бы равна \(0{,}4 + 0{,}7 = 1{,}1\), а это больше 1. Значит, такие события несовместными быть не могут.
г) \(A\) = «номер равен 1» = \(\{1\}\), \(P(A) = \frac{1}{10} = 0{,}1\); \(B\) = «номер равен 2» = \(\{2\}\), \(P(B) = \frac{1}{10} = 0{,}1\). Общих исходов у этих событий нет — они несовместны.
Ответ: а) могут; б) могут; в) не могут, так как \(0{,}4 + 0{,}7 > 1\); г) могут.
Могут ли события быть несовместными, если: а) \(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}3\); б) \(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}5\); в) \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}7\); г) \(P(A) = 0{,}1\), \(P(B) = 0{,}1\)?
Если события \(A\) и \(B\) несовместны, то по формуле суммы \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\), а вероятность любого события не больше 1. Поэтому несовместными могут быть только события, для которых \(P(A) + P(B) \leqslant 1\). Но одного этого неравенства мало: чтобы убедиться, что события с данными вероятностями могут быть несовместными, нужен пример таких событий.
Возьмём опыт: из 10 карточек с номерами от 1 до 10 наугад вынимают одну. Все 10 исходов равновозможны, поэтому вероятность события равна числу благоприятных для него номеров, делённому на 10.
а) \(A\) = «номер не больше 5» = \(\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}\), \(P(A) = \frac{5}{10} = 0{,}5\); \(B\) = «номер больше 7» = \(\{8,\ 9,\ 10\}\), \(P(B) = \frac{3}{10} = 0{,}3\). Общих исходов у этих событий нет, значит, они несовместны.
б) \(A\) = «номер не больше 5» = \(\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}\), \(P(A) = 0{,}5\); \(B\) = «номер больше 5» = \(\{6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\}\), \(P(B) = \frac{5}{10} = 0{,}5\). Событие \(B\) противоположно событию \(A\): \(B = \overline{A}\). Противоположные события не имеют общих исходов, значит, они несовместны.
в) Если бы события с вероятностями \(P(A) = 0{,}4\) и \(P(B) = 0{,}7\) были несовместны, то вероятность их объединения была бы равна \(0{,}4 + 0{,}7 = 1{,}1\), а это больше 1. Значит, такие события несовместными быть не могут.
г) \(A\) = «номер равен 1» = \(\{1\}\), \(P(A) = \frac{1}{10} = 0{,}1\); \(B\) = «номер равен 2» = \(\{2\}\), \(P(B) = \frac{1}{10} = 0{,}1\). Общих исходов у этих событий нет, значит, они несовместны.
Ответ: а) могут; б) могут; в) не могут, так как \(0{,}4 + 0{,}7 > 1\); г) могут.
