Страница 95 номер 10.19, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Для функции \(f(x) = -2x + 5\) найдите такую первообразную, что её график имеет только одну общую точку с прямой \(y = 2\).
\((-x^2 + 5x)' = -2x + 5\), поэтому \(F(x) = -x^2 + 5x + C\), где \(C\) — некоторое число.
Абсциссы общих точек графика функции \(F\) и прямой \(y = 2\) — корни уравнения \(F(x) = 2\): \[\begin{aligned} -x^2 + 5x + C &= 2; \\ -x^2 + 5x + C - 2 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 5x + 2 - C &= 0. \end{aligned}\]
Общая точка ровно одна тогда и только тогда, когда дискриминант этого квадратного уравнения равен нулю: \(D = 25 - 4(2 - C) = 17 + 4C\);
\(17 + 4C = 0\), откуда \(C = -\frac{17}{4}\).
Ответ: \(F(x) = -x^2 + 5x - \frac{17}{4}\).
Для функции \(f(x) = -2x + 5\) найдите такую первообразную, что её график имеет только одну общую точку с прямой \(y = 2\).
Поскольку \((-x^2 + 5x)' = -2x + 5\), искомая первообразная имеет вид \(F(x) = -x^2 + 5x + C\), где \(C\) — некоторое число.
Абсциссы общих точек графика функции \(F\) и прямой \(y = 2\) — корни уравнения \(F(x) = 2\): \[\begin{aligned} -x^2 + 5x + C &= 2; \\ -x^2 + 5x + C - 2 &= 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 5x + 2 - C &= 0. \end{aligned}\]
Общая точка ровно одна тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет ровно один корень, то есть когда его дискриминант равен нулю: \(D = 25 - 4(2 - C) = 17 + 4C\);
\(17 + 4C = 0\), отсюда \(C = -\frac{17}{4}\).
Ответ: \(F(x) = -x^2 + 5x - \frac{17}{4}\).
