Страница 96 номер 10.21, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Учащийся заменил \(x^2\) на \(t\), нашёл первообразную \(\sin t\) функции \(\cos t\), подставил \(t = x^2\) и сделал вывод, что каждая первообразная функции \(y = \cos x^2\) имеет вид \(y = \sin x^2 + C\), где \(C\) — некоторое число.
Проверим этот вывод дифференцированием: \[(\sin x^2 + C)' = \cos x^2 \cdot (x^2)' = 2x\cos x^2.\] При \(x = 1\) производная равна \(2\cos 1\), а значение функции \(y = \cos x^2\) равно \(\cos 1\). Так как \(0 < 1 < \frac{\pi}{2}\), то \(\cos 1 > 0\), поэтому \(2\cos 1 \ne \cos 1\). Значит, ни одна из функций \(y = \sin x^2 + C\) не является первообразной функции \(y = \cos x^2\) на промежутке \((-\infty;\ +\infty)\), и вывод учащегося неверен.
Ошибка — в третьем шаге: \(\sin t\) — первообразная функции \(\cos t\) по переменной \(t\), а нужна первообразная по переменной \(x\). Функция \(y = \sin x^2\) сложная, и её производная по \(x\) получает множитель \((x^2)' = 2x\). Правило нахождения первообразной функции \(y = f(kx + b)\) учитывает такой множитель только для линейного аргумента: там он равен числу \(k\) и его компенсирует коэффициент \(\frac{1}{k}\). Аргумент \(x^2\) не линейный, множитель \(2x\) — не число, поэтому это правило к функции \(y = \cos x^2\) неприменимо.
Ответ: ошибка в третьем шаге: подстановка \(t = x^2\) в первообразную \(\sin t\) функции \(\cos t\) не даёт первообразной функции \(\cos x^2\), так как \((\sin x^2)' = 2x\cos x^2\) и, например, при \(x = 1\) это \(2\cos 1 \ne \cos 1\); правило нахождения первообразной функции \(f(kx + b)\) применимо только к линейному аргументу \(kx + b\), а аргумент \(x^2\) не линейный.
Учащийся искал первообразную функции \(y = \cos x^2\) так: заменил \(x^2\) на \(t\), нашёл первообразную \(\sin t\) функции \(\cos t\), подставил \(t = x^2\) и сделал вывод, что каждая первообразная функции \(y = \cos x^2\) имеет вид \(y = \sin x^2 + C\), где \(C\) — некоторое число.
Проверим этот вывод дифференцированием. По правилу нахождения производной сложной функции \[(\sin x^2 + C)' = \cos x^2 \cdot (x^2)' = 2x\cos x^2.\]
При \(x = 1\) производная равна \(2\cos 1\), а значение функции \(y = \cos x^2\) в этой точке равно \(\cos 1\). Так как \(0 < 1 < \frac{\pi}{2}\), то \(\cos 1 > 0\), поэтому \(2\cos 1 \ne \cos 1\). Значит, ни одна из функций \(y = \sin x^2 + C\) не является первообразной функции \(y = \cos x^2\) на промежутке \((-\infty;\ +\infty)\), и вывод учащегося неверен.
Ошибка — в третьем шаге. Функция \(y = \sin t\) — первообразная функции \(y = \cos t\) по переменной \(t\), а первообразная нужна по переменной \(x\). После подстановки \(t = x^2\) функция \(y = \sin x^2\) — сложная, и её производная по \(x\) получает множитель \((x^2)' = 2x\), поэтому она равна не \(\cos x^2\), а \(2x\cos x^2\). Правило нахождения первообразной функции \(y = f(kx + b)\) учитывает такой множитель только для линейного аргумента: там он равен числу \(k\), и его компенсирует коэффициент \(\frac{1}{k}\). Аргумент \(x^2\) не линейный, множитель \(2x\) — не число, поэтому это правило к функции \(y = \cos x^2\) неприменимо, а общего правила нахождения первообразной сложной функции нет.
Ответ: ошибка в третьем шаге: подстановка \(t = x^2\) в первообразную \(\sin t\) функции \(\cos t\) не даёт первообразной функции \(\cos x^2\), так как \((\sin x^2)' = 2x\cos x^2\) и, например, при \(x = 1\) это \(2\cos 1 \ne \cos 1\); правило нахождения первообразной функции \(f(kx + b)\) применимо только к линейному аргументу \(kx + b\), а аргумент \(x^2\) не линейный.
