Страница 95 номер 10.16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите: 1) \(\int \cos^2 2x\,dx\); 2) \(\int \cos x \cos 8x\,dx\).
1) \(\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x\); первообразная функции \(\cos 4x\) — функция \(\frac{1}{4}\sin 4x\): \[\begin{aligned} &\int \cos^2 2x\,dx = \int \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x\right)dx = {} \\ &= \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}\sin 4x + C = \frac{x}{2} + \frac{1}{8}\sin 4x + C. \end{aligned}\]
2) \[\cos 8x\cos x = \frac{1}{2}\big(\cos(8x - x) + \cos(8x + x)\big) = \frac{1}{2}(\cos 7x + \cos 9x).\]
Первообразные функций \(\cos 7x\) и \(\cos 9x\) — функции \(\frac{1}{7}\sin 7x\) и \(\frac{1}{9}\sin 9x\): \[\begin{aligned} &\int \cos x\cos 8x\,dx = \frac{1}{2}\int (\cos 7x + \cos 9x)\,dx = {} \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}\sin 7x + \frac{1}{9}\sin 9x\right) + C = \frac{1}{14}\sin 7x + \frac{1}{18}\sin 9x + C. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\frac{x}{2} + \frac{1}{8}\sin 4x + C\); 2) \(\frac{1}{14}\sin 7x + \frac{1}{18}\sin 9x + C\), где \(C\) — любое число.
Найдите: 1) \(\int \cos^2 2x\,dx\); 2) \(\int \cos x \cos 8x\,dx\).
Правила нахождения первообразной произведения функций нет, поэтому сначала представим функцию под знаком интеграла в виде суммы: по формуле понижения степени \(\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}\) и по формуле преобразования произведения тригонометрических функций в сумму \(\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\big(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)\big)\). Затем пользуемся правилами нахождения первообразной, в том числе правилом для функции \(y = f(kx + b)\); \(C\) — любое число.
1) По формуле понижения степени \(\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x\). Первообразная функции \(\cos 4x\) — функция \(\frac{1}{4}\sin 4x\), поэтому \[\begin{aligned} &\int \cos^2 2x\,dx = \int \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x\right)dx = {} \\ &= \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}\sin 4x + C = \frac{x}{2} + \frac{1}{8}\sin 4x + C. \end{aligned}\]
2) По формуле преобразования произведения в сумму \[\cos 8x\cos x = \frac{1}{2}\big(\cos(8x - x) + \cos(8x + x)\big) = \frac{1}{2}(\cos 7x + \cos 9x).\]
Первообразные функций \(\cos 7x\) и \(\cos 9x\) — функции \(\frac{1}{7}\sin 7x\) и \(\frac{1}{9}\sin 9x\), поэтому \[\begin{aligned} &\int \cos x\cos 8x\,dx = \frac{1}{2}\int (\cos 7x + \cos 9x)\,dx = {} \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}\sin 7x + \frac{1}{9}\sin 9x\right) + C = \frac{1}{14}\sin 7x + \frac{1}{18}\sin 9x + C. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\frac{x}{2} + \frac{1}{8}\sin 4x + C\); 2) \(\frac{1}{14}\sin 7x + \frac{1}{18}\sin 9x + C\), где \(C\) — любое число.
