Страница 95 номер 10.15, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите: 1) \(\int \sin^2 x\,dx\); 2) \(\int \sin 5x \cos 3x\,dx\); 3) \(\int \sin\frac{7x}{3} \sin\frac{5x}{3}\,dx\).
1) \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x\); первообразная функции \(\cos 2x\) — функция \(\frac{1}{2}\sin 2x\): \[\begin{aligned} &\int \sin^2 x\,dx = \int \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x\right)dx = {} \\ &= \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin 2x + C = \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin 2x + C. \end{aligned}\]
2) \[\sin 5x\cos 3x = \frac{1}{2}\big(\sin(5x - 3x) + \sin(5x + 3x)\big) = \frac{1}{2}(\sin 2x + \sin 8x).\]
Первообразные функций \(\sin 2x\) и \(\sin 8x\) — функции \(-\frac{1}{2}\cos 2x\) и \(-\frac{1}{8}\cos 8x\): \[\begin{aligned} &\int \sin 5x\cos 3x\,dx = \frac{1}{2}\int (\sin 2x + \sin 8x)\,dx = {} \\ &= \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{1}{8}\cos 8x\right) + C = -\frac{1}{4}\cos 2x - \frac{1}{16}\cos 8x + C. \end{aligned}\]
3) \[\sin\frac{7x}{3}\sin\frac{5x}{3} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{7x}{3} - \frac{5x}{3}\right) - \cos\left(\frac{7x}{3} + \frac{5x}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{2x}{3} - \cos 4x\right).\]
Первообразные функций \(\cos\frac{2x}{3}\) и \(\cos 4x\) — функции \(\frac{3}{2}\sin\frac{2x}{3}\) и \(\frac{1}{4}\sin 4x\): \[\begin{aligned} &\int \sin\frac{7x}{3}\sin\frac{5x}{3}\,dx = \frac{1}{2}\int \left(\cos\frac{2x}{3} - \cos 4x\right)dx = {} \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\sin\frac{2x}{3} - \frac{1}{4}\sin 4x\right) + C = \frac{3}{4}\sin\frac{2x}{3} - \frac{1}{8}\sin 4x + C. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin 2x + C\); 2) \(-\frac{1}{4}\cos 2x - \frac{1}{16}\cos 8x + C\); 3) \(\frac{3}{4}\sin\frac{2x}{3} - \frac{1}{8}\sin 4x + C\), где \(C\) — любое число.
Найдите: 1) \(\int \sin^2 x\,dx\); 2) \(\int \sin 5x \cos 3x\,dx\); 3) \(\int \sin\frac{7x}{3} \sin\frac{5x}{3}\,dx\).
Правила нахождения первообразной произведения функций нет, поэтому сначала представим функцию под знаком интеграла в виде суммы. Для этого служат формула понижения степени \(\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}\) и формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: \[\begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta &= \frac{1}{2}\big(\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)\big); \\ \sin\alpha\sin\beta &= \frac{1}{2}\big(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\big). \end{aligned}\]
Затем пользуемся правилами нахождения первообразной, в том числе правилом для функции \(y = f(kx + b)\); \(C\) — любое число.
1) По формуле понижения степени \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x\). Первообразная функции \(\cos 2x\) — функция \(\frac{1}{2}\sin 2x\), поэтому \[\begin{aligned} &\int \sin^2 x\,dx = \int \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x\right)dx = {} \\ &= \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin 2x + C = \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin 2x + C. \end{aligned}\]
2) По формуле преобразования произведения в сумму \[\sin 5x\cos 3x = \frac{1}{2}\big(\sin(5x - 3x) + \sin(5x + 3x)\big) = \frac{1}{2}(\sin 2x + \sin 8x).\]
Первообразные функций \(\sin 2x\) и \(\sin 8x\) — функции \(-\frac{1}{2}\cos 2x\) и \(-\frac{1}{8}\cos 8x\), поэтому \[\begin{aligned} &\int \sin 5x\cos 3x\,dx = \frac{1}{2}\int (\sin 2x + \sin 8x)\,dx = {} \\ &= \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{1}{8}\cos 8x\right) + C = -\frac{1}{4}\cos 2x - \frac{1}{16}\cos 8x + C. \end{aligned}\]
3) По формуле преобразования произведения в сумму \[\sin\frac{7x}{3}\sin\frac{5x}{3} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{7x}{3} - \frac{5x}{3}\right) - \cos\left(\frac{7x}{3} + \frac{5x}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{2x}{3} - \cos 4x\right).\]
Первообразные функций \(\cos\frac{2x}{3}\) и \(\cos 4x\) — функции \(\frac{3}{2}\sin\frac{2x}{3}\) и \(\frac{1}{4}\sin 4x\), поэтому \[\begin{aligned} &\int \sin\frac{7x}{3}\sin\frac{5x}{3}\,dx = \frac{1}{2}\int \left(\cos\frac{2x}{3} - \cos 4x\right)dx = {} \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\sin\frac{2x}{3} - \frac{1}{4}\sin 4x\right) + C = \frac{3}{4}\sin\frac{2x}{3} - \frac{1}{8}\sin 4x + C. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin 2x + C\); 2) \(-\frac{1}{4}\cos 2x - \frac{1}{16}\cos 8x + C\); 3) \(\frac{3}{4}\sin\frac{2x}{3} - \frac{1}{8}\sin 4x + C\), где \(C\) — любое число.
