Страница 95 номер 10.17, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Для функции \(f(x) = 2x^2 + 3x\) найдите такую первообразную, что прямая \(y = 5x - 2\) является касательной к её графику.
\(\left(\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}\right)' = 2x^2 + 3x\), поэтому \(F(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C\), где \(C\) — некоторое число.
Касательная к графику функции \(F\) в точке с абсциссой \(x_0\) — прямая \(y = F'(x_0)(x - x_0) + F(x_0)\). Она совпадает с прямой \(y = 5x - 2\) тогда и только тогда, когда равны угловые коэффициенты, \(F'(x_0) = 5\), и точка касания лежит на этой прямой, то есть \(F(x_0) = 5x_0 - 2\).
Из условия \(F'(x_0) = 5\): \(2x_0^2 + 3x_0 = 5\), то есть \(2x_0^2 + 3x_0 - 5 = 0\). Дискриминант \(D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49\), корни \(x_0 = \frac{-3 + 7}{4} = 1\) и \(x_0 = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{5}{2}\).
Если \(x_0 = 1\), то \(5x_0 - 2 = 3\), и из условия \(F(1) = 3\): \(\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + C = 3\), то есть \(\frac{13}{6} + C = 3\), откуда \(C = \frac{5}{6}\).
Если \(x_0 = -\frac{5}{2}\), то \(5x_0 - 2 = -\frac{25}{2} - 2 = -\frac{29}{2}\), и из условия \(F\left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{29}{2}\): \[\begin{aligned} \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{125}{8}\right) + \frac{3}{2} \cdot \frac{25}{4} + C &= -\frac{29}{2}; \\ -\frac{125}{12} + \frac{75}{8} + C &= -\frac{29}{2}; \\ -\frac{25}{24} + C &= -\frac{29}{2}; \\ C &= -\frac{29}{2} + \frac{25}{24} = -\frac{323}{24}. \end{aligned}\]
Ответ: \(F(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + \frac{5}{6}\) или \(F(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - \frac{323}{24}\).
Для функции \(f(x) = 2x^2 + 3x\) найдите такую первообразную, что прямая \(y = 5x - 2\) является касательной к её графику.
Поскольку \(\left(\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}\right)' = 2x^2 + 3x\), искомая первообразная имеет вид \(F(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C\), где \(C\) — некоторое число.
Касательная к графику функции \(F\) в точке с абсциссой \(x_0\) задаётся уравнением \(y = F'(x_0)(x - x_0) + F(x_0)\). Она совпадает с прямой \(y = 5x - 2\) тогда и только тогда, когда равны угловые коэффициенты, \(F'(x_0) = 5\), и точка касания лежит на этой прямой, то есть \(F(x_0) = 5x_0 - 2\).
Поскольку \(F'(x) = 2x^2 + 3x\), из условия \(F'(x_0) = 5\) получаем уравнение \(2x_0^2 + 3x_0 = 5\), то есть \(2x_0^2 + 3x_0 - 5 = 0\). Его дискриминант \(D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49\), корни \(x_0 = \frac{-3 + 7}{4} = 1\) и \(x_0 = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{5}{2}\).
Если \(x_0 = 1\), то \(5x_0 - 2 = 3\), и из условия \(F(1) = 3\) получаем \(\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + C = 3\), то есть \(\frac{13}{6} + C = 3\), отсюда \(C = \frac{5}{6}\).
Если \(x_0 = -\frac{5}{2}\), то \(5x_0 - 2 = -\frac{25}{2} - 2 = -\frac{29}{2}\), и из условия \(F\left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{29}{2}\) получаем: \[\begin{aligned} \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{125}{8}\right) + \frac{3}{2} \cdot \frac{25}{4} + C &= -\frac{29}{2}; \\ -\frac{125}{12} + \frac{75}{8} + C &= -\frac{29}{2}; \\ -\frac{25}{24} + C &= -\frac{29}{2}; \\ C &= -\frac{29}{2} + \frac{25}{24} = -\frac{323}{24}. \end{aligned}\]
Значит, условию удовлетворяют две первообразные: \(F(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + \frac{5}{6}\) (прямая касается её графика в точке с абсциссой \(1\)) и \(F(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - \frac{323}{24}\) (в точке с абсциссой \(-\frac{5}{2}\)).
Ответ: \(F(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + \frac{5}{6}\) или \(F(x) = \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - \frac{323}{24}\).
