Страница 95 номер 10.18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Для функции \(f(x) = x^2 - 4\) найдите такую первообразную, что прямая \(y = -3\) является касательной к её графику.
\(\left(\frac{x^3}{3} - 4x\right)' = x^2 - 4\), поэтому \(F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + C\), где \(C\) — некоторое число.
Касательная к графику функции \(F\) в точке с абсциссой \(x_0\) — прямая \(y = F'(x_0)(x - x_0) + F(x_0)\). Угловой коэффициент прямой \(y = -3\) равен нулю, поэтому она является такой касательной тогда и только тогда, когда \(F'(x_0) = 0\) и точка касания лежит на этой прямой, то есть \(F(x_0) = -3\).
Из условия \(F'(x_0) = 0\): \(x_0^2 - 4 = 0\), откуда \(x_0 = -2\) или \(x_0 = 2\).
Если \(x_0 = 2\), то из условия \(F(2) = -3\): \(\frac{8}{3} - 8 + C = -3\), то есть \(-\frac{16}{3} + C = -3\), откуда \(C = \frac{7}{3}\).
Если \(x_0 = -2\), то из условия \(F(-2) = -3\): \(-\frac{8}{3} + 8 + C = -3\), то есть \(\frac{16}{3} + C = -3\), откуда \(C = -\frac{25}{3}\).
Ответ: \(F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + \frac{7}{3}\) или \(F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x - \frac{25}{3}\).
Для функции \(f(x) = x^2 - 4\) найдите такую первообразную, что прямая \(y = -3\) является касательной к её графику.
Поскольку \(\left(\frac{x^3}{3} - 4x\right)' = x^2 - 4\), искомая первообразная имеет вид \(F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + C\), где \(C\) — некоторое число.
Касательная к графику функции \(F\) в точке с абсциссой \(x_0\) задаётся уравнением \(y = F'(x_0)(x - x_0) + F(x_0)\). Угловой коэффициент прямой \(y = -3\) равен нулю, поэтому она является такой касательной тогда и только тогда, когда \(F'(x_0) = 0\) и точка касания лежит на этой прямой, то есть \(F(x_0) = -3\).
Поскольку \(F'(x) = x^2 - 4\), из условия \(F'(x_0) = 0\) получаем \(x_0^2 - 4 = 0\), откуда \(x_0 = -2\) или \(x_0 = 2\).
Если \(x_0 = 2\), то из условия \(F(2) = -3\) получаем \(\frac{8}{3} - 8 + C = -3\), то есть \(-\frac{16}{3} + C = -3\), отсюда \(C = \frac{7}{3}\).
Если \(x_0 = -2\), то из условия \(F(-2) = -3\) получаем \(-\frac{8}{3} + 8 + C = -3\), то есть \(\frac{16}{3} + C = -3\), отсюда \(C = -\frac{25}{3}\).
Значит, условию удовлетворяют две первообразные: \(F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + \frac{7}{3}\) (прямая \(y = -3\) касается её графика в точке с абсциссой \(2\)) и \(F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x - \frac{25}{3}\) (в точке с абсциссой \(-2\)).
Ответ: \(F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + \frac{7}{3}\) или \(F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x - \frac{25}{3}\).
