Вопросы после параграфа §11 на странице 102, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Пусть функция \(f\) непрерывна на отрезке \([a;\ b]\) и принимает на нём только неотрицательные значения. Криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную графиком функции \(f\) и прямыми \(y = 0\), \(x = a\) и \(x = b\).

Например, фигура, ограниченная параболой \(y = x^2\) и прямыми \(y = 0\), \(x = 1\) и \(x = 3\), — криволинейная трапеция: функция \(y = x^2\) непрерывна на отрезке \([1;\ 3]\) и принимает на нём положительные значения.

Ответ: криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную графиком функции \(f\), непрерывной и неотрицательной на отрезке \([a;\ b]\), и прямыми \(y = 0\), \(x = a\), \(x = b\).

Площадь \(S\) криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(y = f(x)\) и прямыми \(y = 0\), \(x = a\) и \(x = b\) \((a < b)\), можно вычислить по формуле \(S = F(b) - F(a)\), где \(F\) — любая первообразная функции \(f\) на отрезке \([a;\ b]\).

Например, функция \(F(x) = x^3\) — первообразная функции \(f(x) = 3x^2\) на отрезке \([1;\ 2]\), поэтому площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой \(y = 3x^2\) и прямыми \(y = 0\), \(x = 1\), \(x = 2\), равна \(S = F(2) - F(1) = 2^3 - 1^3 = 7\).

Ответ: площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(y = f(x)\) и прямыми \(y = 0\), \(x = a\), \(x = b\) \((a < b)\), равна \(F(b) - F(a)\), где \(F\) — любая первообразная функции \(f\) на отрезке \([a;\ b]\).

Пусть \(F\) — первообразная функции \(f\) на промежутке \(I\), а числа \(a\) и \(b\), где \(a < b\), принадлежат промежутку \(I\). Разность \(F(b) - F(a)\) называют определённым интегралом функции \(f\) на отрезке \([a;\ b]\) и обозначают \(\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\).

Значение этой разности не зависит от того, какую первообразную выбрали: любая другая первообразная функции \(f\) на промежутке \(I\) отличается от \(F\) на постоянное число \(C\), а \((F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)\).

Например, функция \(F(x) = x^2\) — первообразная функции \(f(x) = 2x\) на промежутке \((-\infty;\ +\infty)\), поэтому \(\int\limits_{-1}^{3} 2x\,dx = F(3) - F(-1) = 9 - 1 = 8\).

Ответ: определённым интегралом функции \(f\) на отрезке \([a;\ b]\) называют разность \(F(b) - F(a)\), где \(F\) — первообразная функции \(f\) на промежутке, которому принадлежат числа \(a\) и \(b\) \((a < b)\); обозначение — \(\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\).

Формулой Ньютона — Лейбница называют равенство \(\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)\), где \(F\) — произвольная первообразная функции \(f\) на промежутке, которому принадлежат числа \(a\) и \(b\) \((a < b)\).

При вычислениях разность \(F(b) - F(a)\) записывают так: \(F(x)\Big|_{a}^{b}\). Чтобы вычислить интеграл по этой формуле, находят любую первообразную \(F\) функции \(f\) на отрезке \([a;\ b]\), вычисляют её значения в точках \(b\) и \(a\) и находят их разность. Например, \[\int\limits_{0}^{2} (2x + 1)\,dx = (x^2 + x)\Big|_{0}^{2} = (2^2 + 2) - (0^2 + 0) = 6.\]

Ответ: формулой Ньютона — Лейбница называют равенство \(\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)\), где \(F\) — произвольная первообразная функции \(f\) на промежутке, которому принадлежат числа \(a\) и \(b\) \((a < b)\).

Пусть \(a < b\). Если функция \(f\) имеет первообразную \(F\) на отрезке \([a;\ b]\) и \(c \in (a;\ b)\), то интеграл по отрезку \([a;\ b]\) равен сумме интегралов по отрезкам \([a;\ c]\) и \([c;\ b]\): \[\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx = \int\limits_{a}^{c} f(x)\,dx + \int\limits_{c}^{b} f(x)\,dx.\]

Это равенство следует из формулы Ньютона — Лейбница: \(F(b) - F(a) = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c))\).

Если каждая из функций \(f\) и \(g\) имеет первообразную на отрезке \([a;\ b]\), то интеграл суммы функций равен сумме их интегралов, а постоянный множитель \(k\) можно вынести за знак интеграла: \[\begin{aligned} \int\limits_{a}^{b} (f(x) + g(x))\,dx &= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx + \int\limits_{a}^{b} g(x)\,dx; \\ \int\limits_{a}^{b} kf(x)\,dx &= k\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx. \end{aligned}\]

Например, по двум последним свойствам \[\int\limits_{0}^{2} (3x^2 + 4x)\,dx = 3\int\limits_{0}^{2} x^2\,dx + 4\int\limits_{0}^{2} x\,dx = 3 \cdot \frac{8}{3} + 4 \cdot 2 = 16.\]

Ответ: если \(a < c < b\) и функция \(f\) имеет первообразную на отрезке \([a;\ b]\), то \(\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx = \int\limits_{a}^{c} f(x)\,dx + \int\limits_{c}^{b} f(x)\,dx\); если функции \(f\) и \(g\) имеют первообразные на отрезке \([a;\ b]\), то \(\int\limits_{a}^{b} (f(x) + g(x))\,dx = \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx + \int\limits_{a}^{b} g(x)\,dx\) и \(\int\limits_{a}^{b} kf(x)\,dx = k\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\), где \(k\) — любое число.