Вопросы после параграфа §10 на странице 91, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сформулируйте три правила нахождения первообразной.
Первое правило: если \(F\) и \(G\) — первообразные функций \(f\) и \(g\) на промежутке \(I\), то \(y = F(x) + G(x)\) — первообразная функции \(y = f(x) + g(x)\), а \(y = F(x) - G(x)\) — первообразная функции \(y = f(x) - g(x)\) на этом промежутке. Например, \(y = \frac{x^3}{3} + \sin x\) — первообразная функции \(y = x^2 + \cos x\).
Второе правило: если \(F\) — первообразная функции \(f\) на промежутке \(I\) и \(k\) — некоторое число, то \(y = kF(x)\) — первообразная функции \(y = kf(x)\) на этом промежутке. Например, \(y = -5\cos x\) — первообразная функции \(y = 5\sin x\).
Третье правило: если \(F\) — первообразная функции \(f\) на промежутке \(I\) и \(k \ne 0\), то \(y = \frac{1}{k}F(kx + b)\) — первообразная функции \(y = f(kx + b)\) там, где значения \(kx + b\) принадлежат промежутку \(I\). Например, \(y = \frac{1}{3}\sin(3x + 1)\) — первообразная функции \(y = \cos(3x + 1)\).
С помощью неопределённого интеграла эти правила записывают так (\(C\) — любое число): \[\begin{aligned} \int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx &= F(x) + G(x) + C; \\ \int kf(x)\,dx &= kF(x) + C; \\ \int f(kx + b)\,dx &= \frac{1}{k}F(kx + b) + C. \end{aligned}\]
Ответ: если \(F\) и \(G\) — первообразные функций \(f\) и \(g\) на промежутке \(I\), то \(F + G\) — первообразная функции \(f + g\) на этом промежутке (и \(F - G\) — первообразная функции \(f - g\)); если \(F\) — первообразная функции \(f\) на промежутке \(I\) и \(k\) — число, то \(kF\) — первообразная функции \(kf\) на этом промежутке; если \(F\) — первообразная функции \(f\) на промежутке \(I\) и \(k \ne 0\), то функция \(y = \frac{1}{k}F(kx + b)\) — первообразная функции \(y = f(kx + b)\) на соответствующем промежутке.
Сформулируйте три правила нахождения первообразной.
Правила нахождения первообразной (правила интегрирования) следуют из правил дифференцирования. Во всех трёх правилах первообразные рассматриваются на промежутке \(I\).
Первое правило — первообразная суммы. Если функции \(F\) и \(G\) являются первообразными функций \(f\) и \(g\) соответственно на промежутке \(I\), то на этом промежутке функция \(y = F(x) + G(x)\) является первообразной функции \(y = f(x) + g(x)\). Действительно, для любого \(x \in I\) имеем \((F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)\). Так же на промежутке \(I\) функция \(y = F(x) - G(x)\) является первообразной функции \(y = f(x) - g(x)\).
Например, функции \(y = \frac{x^3}{3}\) и \(y = \sin x\) — первообразные функций \(y = x^2\) и \(y = \cos x\), поэтому функция \(y = \frac{x^3}{3} + \sin x\) — первообразная функции \(y = x^2 + \cos x\).
Второе правило — постоянный множитель. Если функция \(F\) является первообразной функции \(f\) на промежутке \(I\) и \(k\) — некоторое число, то на этом промежутке функция \(y = kF(x)\) является первообразной функции \(y = kf(x)\), так как \((kF(x))' = kF'(x) = kf(x)\).
Например, функция \(y = -\cos x\) — первообразная функции \(y = \sin x\), поэтому функция \(y = -5\cos x\) — первообразная функции \(y = 5\sin x\).
Третье правило — линейный аргумент. Если функция \(F\) является первообразной функции \(f\) на промежутке \(I\) и \(k\) — число, отличное от нуля, то функция \(y = \frac{1}{k}F(kx + b)\) является первообразной функции \(y = f(kx + b)\) на соответствующем промежутке — там, где значения \(kx + b\) принадлежат промежутку \(I\). Действительно, по правилу нахождения производной сложной функции \(\left(\frac{1}{k}F(kx + b)\right)' = \frac{1}{k}f(kx + b) \cdot k = f(kx + b)\).
Например, функция \(y = \sin x\) — первообразная функции \(y = \cos x\), поэтому функция \(y = \frac{1}{3}\sin(3x + 1)\) — первообразная функции \(y = \cos(3x + 1)\).
С помощью неопределённого интеграла эти правила записывают так (\(C\) — любое число): \[\begin{aligned} \int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx &= F(x) + G(x) + C; \\ \int kf(x)\,dx &= kF(x) + C; \\ \int f(kx + b)\,dx &= \frac{1}{k}F(kx + b) + C. \end{aligned}\]
Общих правил нахождения первообразных произведения, частного и сложной функции нет: третье правило применимо только к функции вида \(y = f(kx + b)\), аргумент которой линейный.
Ответ: если \(F\) и \(G\) — первообразные функций \(f\) и \(g\) на промежутке \(I\), то \(F + G\) — первообразная функции \(f + g\) на этом промежутке (и \(F - G\) — первообразная функции \(f - g\)); если \(F\) — первообразная функции \(f\) на промежутке \(I\) и \(k\) — число, то \(kF\) — первообразная функции \(kf\) на этом промежутке; если \(F\) — первообразная функции \(f\) на промежутке \(I\) и \(k \ne 0\), то функция \(y = \frac{1}{k}F(kx + b)\) — первообразная функции \(y = f(kx + b)\) на соответствующем промежутке.
