Страница 194 номер 26.50, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите равенство \(\underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\ldots + \sqrt{2}}}}}}_{n \text{ радикалов}} = 2\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}\).
Выражение из \(n + 1\) радикала получается из выражения из \(n\) радикалов так: к нему прибавляют 2 и из суммы извлекают квадратный корень.
Для одного радикала равенство верно: \(2\cos\frac{\pi}{2^{1 + 1}} = 2\cos\frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).
Пусть выражение из \(n\) радикалов равно \(2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}\). Так как \(0 < \frac{\pi}{2^{n+2}} < \frac{\pi}{2}\), то \(\cos\frac{\pi}{2^{n+2}} > 0\), и выражение из \(n + 1\) радикала равно \[\begin{aligned} &\sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}} = \sqrt{2\left(1 + \cos\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)} = \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2^{n+2}}} = {} \\ &= 2\left|\cos\frac{\pi}{2^{n+2}}\right| = 2\cos\frac{\pi}{2^{n+2}} = 2\cos\frac{\pi}{2^{(n+1)+1}}. \end{aligned}\] Значит, если равенство верно для \(n\) радикалов, то оно верно и для \(n + 1\) радикала. Для одного радикала оно верно, поэтому верно для любого натурального числа радикалов \(n\).
Ответ: равенство \(\underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\ldots + \sqrt{2}}}}}}_{n \text{ радикалов}} = 2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}\) верно при любом натуральном \(n\).
Докажите равенство \(\underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\ldots + \sqrt{2}}}}}}_{n \text{ радикалов}} = 2\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}\).
Докажем, что равенство верно при каждом \(n \in \mathbf{N}\). Выражение из \(n + 1\) радикала получается из выражения из \(n\) радикалов так: к нему прибавляют 2 и из суммы извлекают квадратный корень.
Для одного радикала равенство верно: \(2\cos\frac{\pi}{2^{1 + 1}} = 2\cos\frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).
Пусть равенство верно для некоторого числа радикалов \(n\), то есть выражение из \(n\) радикалов равно \(2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}\). Так как \(0 < \frac{\pi}{2^{n+2}} < \frac{\pi}{2}\), то \(\cos\frac{\pi}{2^{n+2}} > 0\). По формуле \(1 + \cos 2x = 2\cos^2 x\) при \(x = \frac{\pi}{2^{n+2}}\) (тогда \(2x = \frac{\pi}{2^{n+1}}\)) выражение из \(n + 1\) радикала равно \[\begin{aligned} &\sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}} = \sqrt{2\left(1 + \cos\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)} = \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2^{n+2}}} = {} \\ &= 2\left|\cos\frac{\pi}{2^{n+2}}\right| = 2\cos\frac{\pi}{2^{n+2}} = 2\cos\frac{\pi}{2^{(n+1)+1}}. \end{aligned}\] Значит, если равенство верно для \(n\) радикалов, то оно верно и для \(n + 1\) радикала. Для одного радикала оно верно, поэтому верно для двух, затем для трёх радикалов и так далее — для любого натурального числа радикалов \(n\).
Ответ: равенство \(\underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\ldots + \sqrt{2}}}}}}_{n \text{ радикалов}} = 2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}\) верно при любом натуральном \(n\).
