Вопросы после параграфа §27 на странице 198, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Эти формулы получают из формул сложения. Сложив почленно равенства \(\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y\) и \(\sin(x - y) = \sin x\cos y - \cos x\sin y\), получают \(\sin(x + y) + \sin(x - y) = 2\sin x\cos y\). Обозначив \(x + y = \alpha\), \(x - y = \beta\), откуда \(x = \frac{\alpha + \beta}{2}\), \(y = \frac{\alpha - \beta}{2}\), получают формулу суммы синусов. Вычитая почленно те же равенства, а также складывая и вычитая почленно формулы косинуса суммы и косинуса разности, так же получают формулы разности синусов, суммы косинусов и разности косинусов: \[\begin{aligned} \sin\alpha + \sin\beta &= 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}; \\ \sin\alpha - \sin\beta &= 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}; \\ \cos\alpha + \cos\beta &= 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}; \\ \cos\alpha - \cos\beta &= -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}. \end{aligned}\] Формулы верны при любых \(\alpha\) и \(\beta\).

Например, по формуле суммы синусов \(\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2\sin 45^\circ\cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}\).

Ответ: \(\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}\), \(\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\), \(\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}\), \(\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\).

Сложив почленно формулы синуса суммы и синуса разности, получают \(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta\); сложив и вычтя почленно формулы косинуса суммы и косинуса разности, получают \(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta\) и \(\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2\sin\alpha\sin\beta\). Выразив из этих равенств произведения, получают формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: \[\begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta &= \frac{1}{2}(\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)); \\ \cos\alpha\cos\beta &= \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)); \\ \sin\alpha\sin\beta &= \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)). \end{aligned}\] Формулы верны при любых \(\alpha\) и \(\beta\).

Например, \(\sin 75^\circ\cos 15^\circ = \frac{1}{2}(\sin 60^\circ + \sin 90^\circ) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}\).

Ответ: \(\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta))\), \(\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))\), \(\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))\).