Страница 180 номер 24.40, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

Так как \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) — углы треугольника, то \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), поэтому \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\). Углы \(\frac{\alpha}{2}\), \(\frac{\beta}{2}\), \(\frac{\gamma}{2}\) и \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\) лежат в промежутке \(\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)\), поэтому их синусы и косинусы положительны, а тангенсы определены и положительны. Обозначим \(x = \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\), \(y = \operatorname{tg}\frac{\beta}{2}\), \(z = \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}\); эти числа положительны, и нужно доказать, что \(x + y + z \geqslant \sqrt{3}\).

Докажем, что \(xy + yz + zx = 1\). Так как \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \cos\frac{\gamma}{2}\) и \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \sin\frac{\gamma}{2}\), то \[\begin{aligned} &z\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = {} \\ &= \frac{\sin\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}} \cdot \frac{\cos\frac{\gamma}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}} = 1. \end{aligned}\] Из формулы тангенса суммы следует, что \(x + y = \operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)(1 - xy)\). Тогда \[\begin{aligned} &xy + yz + zx = xy + z(x + y) = xy + z\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)(1 - xy) = {} \\ &= xy + 1 - xy = 1. \end{aligned}\] Кроме того, \(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant xy + yz + zx\), так как \[x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx) = \frac{1}{2}\left((x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2\right) \geqslant 0.\] Тогда \[(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \geqslant 3(xy + yz + zx).\] Так как \(xy + yz + zx = 1\), то \((x + y + z)^2 \geqslant 3\). Число \(x + y + z\) положительно, поэтому \(x + y + z \geqslant \sqrt{3}\): если бы было \(0 < x + y + z < \sqrt{3}\), то было бы и \((x + y + z)^2 < 3\). Значит, \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} + \operatorname{tg}\frac{\beta}{2} + \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2} \geqslant \sqrt{3}\).

Ответ: если \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) — углы треугольника, то \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} + \operatorname{tg}\frac{\beta}{2} + \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2} \geqslant \sqrt{3}\).