Страница 180 номер 24.39, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите неравенство \(\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2} + \operatorname{tg}^2\frac{\beta}{2} + \operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2} \ge 1\), где \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) — углы треугольника.
\(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), поэтому \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\). Углы \(\frac{\alpha}{2}\), \(\frac{\beta}{2}\), \(\frac{\gamma}{2}\) и \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\) лежат в промежутке \(\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)\), поэтому их синусы и косинусы положительны, а тангенсы определены. Обозначим \(x = \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\), \(y = \operatorname{tg}\frac{\beta}{2}\), \(z = \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}\); нужно доказать, что \(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 1\).
Так как \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \cos\frac{\gamma}{2}\) и \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \sin\frac{\gamma}{2}\), то \[\begin{aligned} &z\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = {} \\ &= \frac{\sin\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}} \cdot \frac{\cos\frac{\gamma}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}} = 1. \end{aligned}\] \(x + y = \operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)(1 - xy)\). Тогда \[\begin{aligned} &xy + yz + zx = xy + z(x + y) = xy + z\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)(1 - xy) = {} \\ &= xy + 1 - xy = 1. \end{aligned}\] Поэтому разность \(x^2 + y^2 + z^2 - 1\) равна \(x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx)\), а \[x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx) = \frac{1}{2}\left((x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2\right) \geqslant 0.\] Значит, \(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 1\), то есть \(\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2} + \operatorname{tg}^2\frac{\beta}{2} + \operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2} \geqslant 1\).
Ответ: если \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) — углы треугольника, то \(\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2} + \operatorname{tg}^2\frac{\beta}{2} + \operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2} \geqslant 1\).
Докажите неравенство \(\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2} + \operatorname{tg}^2\frac{\beta}{2} + \operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2} \ge 1\), где \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) — углы треугольника.
Так как \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) — углы треугольника, то \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), поэтому \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\). Углы \(\frac{\alpha}{2}\), \(\frac{\beta}{2}\), \(\frac{\gamma}{2}\) и \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\) лежат в промежутке \(\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)\), поэтому их синусы и косинусы положительны, а тангенсы определены. Обозначим \(x = \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\), \(y = \operatorname{tg}\frac{\beta}{2}\), \(z = \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}\); нужно доказать, что \(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 1\).
Докажем, что \(xy + yz + zx = 1\). Так как \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \cos\frac{\gamma}{2}\) и \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \sin\frac{\gamma}{2}\), то \[\begin{aligned} &z\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = {} \\ &= \frac{\sin\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}} \cdot \frac{\cos\frac{\gamma}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}} = 1. \end{aligned}\] Из формулы тангенса суммы следует, что \(x + y = \operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)(1 - xy)\). Тогда \[\begin{aligned} &xy + yz + zx = xy + z(x + y) = xy + z\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)(1 - xy) = {} \\ &= xy + 1 - xy = 1. \end{aligned}\] Поэтому разность \(x^2 + y^2 + z^2 - 1\) равна \(x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx)\), а \[x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx) = \frac{1}{2}\left((x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2\right) \geqslant 0.\] Значит, \(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 1\), то есть \(\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2} + \operatorname{tg}^2\frac{\beta}{2} + \operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2} \geqslant 1\).
Ответ: если \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) — углы треугольника, то \(\operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2} + \operatorname{tg}^2\frac{\beta}{2} + \operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2} \geqslant 1\).
