Страница 180 номер 24.35, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

Так как \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) — углы треугольника, то \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), поэтому \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\). Углы \(\frac{\alpha}{2}\), \(\frac{\beta}{2}\), \(\frac{\gamma}{2}\) и \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\) лежат в промежутке \(\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)\), поэтому их синусы и косинусы положительны, а тангенсы определены. Обозначим \(x = \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\), \(y = \operatorname{tg}\frac{\beta}{2}\), \(z = \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}\); нужно доказать, что \(xy + yz + zx = 1\).

Так как \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \cos\frac{\gamma}{2}\) и \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \sin\frac{\gamma}{2}\), то \[\begin{aligned} &z\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = {} \\ &= \frac{\sin\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}} \cdot \frac{\cos\frac{\gamma}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}} = 1. \end{aligned}\] Из формулы тангенса суммы следует, что \(x + y = \operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)(1 - xy)\). Тогда \[\begin{aligned} &xy + yz + zx = xy + z(x + y) = xy + z\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right)(1 - xy) = {} \\ &= xy + 1 - xy = 1. \end{aligned}\]

Ответ: если \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) — углы треугольника, то \(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\operatorname{tg}\frac{\beta}{2} + \operatorname{tg}\frac{\beta}{2}\operatorname{tg}\frac{\gamma}{2} + \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = 1\).