Страница 199 номер 27.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите тождество: 1) \(\operatorname{tg} 3\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} 2\alpha \operatorname{tg} 3\alpha\); 2) \(\frac{1}{\operatorname{tg} 3\alpha + \operatorname{tg} \alpha} - \frac{1}{\operatorname{tg} 5\alpha - \operatorname{tg} \alpha} = \sin 2\alpha\).
1) Обе части имеют смысл при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos 2\alpha \ne 0\), \(\cos 3\alpha \ne 0\).
\(\operatorname{tg} 3\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{\sin(3\alpha - 2\alpha)}{\cos 3\alpha\cos 2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos 3\alpha\cos 2\alpha}\).
\(\cos\alpha = \cos(3\alpha - 2\alpha) = \cos 3\alpha\cos 2\alpha + \sin 3\alpha\sin 2\alpha\), откуда \(\cos\alpha - \cos 3\alpha\cos 2\alpha = \sin 3\alpha\sin 2\alpha\). Тогда \[\begin{aligned} &\operatorname{tg} 3\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos 3\alpha\cos 2\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = {} \\ &= \frac{\sin\alpha(\cos\alpha - \cos 3\alpha\cos 2\alpha)}{\cos\alpha\cos 2\alpha\cos 3\alpha} = \frac{\sin\alpha\sin 2\alpha\sin 3\alpha}{\cos\alpha\cos 2\alpha\cos 3\alpha} = {} \\ &= \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg} 2\alpha\operatorname{tg} 3\alpha. \end{aligned}\]
2) \(\operatorname{tg} 3\alpha + \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 3\alpha\cos\alpha}\);
\(\operatorname{tg} 5\alpha - \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 5\alpha\cos\alpha}\).
Левая часть имеет смысл, когда определены \(\operatorname{tg}\alpha\), \(\operatorname{tg} 3\alpha\), \(\operatorname{tg} 5\alpha\) и знаменатели дробей не равны нулю, то есть при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos 3\alpha \ne 0\), \(\cos 5\alpha \ne 0\) и \(\sin 4\alpha \ne 0\).
\(\cos 3\alpha - \cos 5\alpha = -2\sin 4\alpha\sin(-\alpha) = 2\sin 4\alpha\sin\alpha\). Тогда \[\begin{aligned} &\frac{1}{\operatorname{tg} 3\alpha + \operatorname{tg}\alpha} - \frac{1}{\operatorname{tg} 5\alpha - \operatorname{tg}\alpha} = {} \\ &= \frac{\cos 3\alpha\cos\alpha}{\sin 4\alpha} - \frac{\cos 5\alpha\cos\alpha}{\sin 4\alpha} = \frac{\cos\alpha(\cos 3\alpha - \cos 5\alpha)}{\sin 4\alpha} = {} \\ &= \frac{2\sin 4\alpha\sin\alpha\cos\alpha}{\sin 4\alpha} = 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: тождества доказаны.
Докажите тождество: 1) \(\operatorname{tg} 3\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} 2\alpha \operatorname{tg} 3\alpha\); 2) \(\frac{1}{\operatorname{tg} 3\alpha + \operatorname{tg} \alpha} - \frac{1}{\operatorname{tg} 5\alpha - \operatorname{tg} \alpha} = \sin 2\alpha\).
1) Обе части имеют смысл при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos 2\alpha \ne 0\), \(\cos 3\alpha \ne 0\). По формуле разности тангенсов \(\operatorname{tg} 3\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{\sin(3\alpha - 2\alpha)}{\cos 3\alpha\cos 2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos 3\alpha\cos 2\alpha}\). По формуле косинуса разности \(\cos\alpha = \cos(3\alpha - 2\alpha) = \cos 3\alpha\cos 2\alpha + \sin 3\alpha\sin 2\alpha\), откуда \(\cos\alpha - \cos 3\alpha\cos 2\alpha = \sin 3\alpha\sin 2\alpha\). Тогда \[\begin{aligned} &\operatorname{tg} 3\alpha - \operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos 3\alpha\cos 2\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = {} \\ &= \frac{\sin\alpha(\cos\alpha - \cos 3\alpha\cos 2\alpha)}{\cos\alpha\cos 2\alpha\cos 3\alpha} = \frac{\sin\alpha\sin 2\alpha\sin 3\alpha}{\cos\alpha\cos 2\alpha\cos 3\alpha} = {} \\ &= \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg} 2\alpha\operatorname{tg} 3\alpha. \end{aligned}\]
2) По формулам суммы и разности тангенсов \(\operatorname{tg} 3\alpha + \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 3\alpha\cos\alpha}\), \(\operatorname{tg} 5\alpha - \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 5\alpha\cos\alpha}\). Левая часть имеет смысл, когда определены \(\operatorname{tg}\alpha\), \(\operatorname{tg} 3\alpha\), \(\operatorname{tg} 5\alpha\) и знаменатели дробей не равны нулю, то есть при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos 3\alpha \ne 0\), \(\cos 5\alpha \ne 0\) и \(\sin 4\alpha \ne 0\). По формуле разности косинусов и нечётности синуса \(\cos 3\alpha - \cos 5\alpha = -2\sin 4\alpha\sin(-\alpha) = 2\sin 4\alpha\sin\alpha\). Тогда \[\begin{aligned} &\frac{1}{\operatorname{tg} 3\alpha + \operatorname{tg}\alpha} - \frac{1}{\operatorname{tg} 5\alpha - \operatorname{tg}\alpha} = {} \\ &= \frac{\cos 3\alpha\cos\alpha}{\sin 4\alpha} - \frac{\cos 5\alpha\cos\alpha}{\sin 4\alpha} = \frac{\cos\alpha(\cos 3\alpha - \cos 5\alpha)}{\sin 4\alpha} = {} \\ &= \frac{2\sin 4\alpha\sin\alpha\cos\alpha}{\sin 4\alpha} = 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: тождества доказаны.
