Страница 200 номер 27.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что если \(\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}\), то имеет место тождество: \[\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 2 + 2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.\]
Так как \(\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} - \gamma\), то \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \gamma\right) = \sin\gamma\). \[\begin{aligned} &\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 + \cos 2\beta}{2} + 1 - \sin^2\gamma = {} \\ &= 2 + \frac{\cos 2\alpha + \cos 2\beta}{2} - \sin^2\gamma = 2 + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) - \sin^2\gamma = {} \\ &= 2 + \sin\gamma\cos(\alpha - \beta) - \sin\gamma\cos(\alpha + \beta) = {} \\ &= 2 + \sin\gamma(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) = 2 + \sin\gamma \cdot 2\sin\alpha\sin\beta = {} \\ &= 2 + 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma. \end{aligned}\]
Ответ: если \(\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}\), то \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 2 + 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\).
Докажите, что если \(\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}\), то имеет место тождество: \[\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 2 + 2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.\]
Так как \(\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} - \gamma\), то по формуле приведения \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \gamma\right) = \sin\gamma\). Применим формулы понижения степени, основное тригонометрическое тождество, формулу суммы косинусов и формулу \(\sin x\sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))\): \[\begin{aligned} &\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 + \cos 2\beta}{2} + 1 - \sin^2\gamma = {} \\ &= 2 + \frac{\cos 2\alpha + \cos 2\beta}{2} - \sin^2\gamma = 2 + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) - \sin^2\gamma = {} \\ &= 2 + \sin\gamma\cos(\alpha - \beta) - \sin\gamma\cos(\alpha + \beta) = {} \\ &= 2 + \sin\gamma(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) = 2 + \sin\gamma \cdot 2\sin\alpha\sin\beta = {} \\ &= 2 + 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma. \end{aligned}\]
Ответ: если \(\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}\), то \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 2 + 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\).
