Страница 200 номер 27.18, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что если \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то имеет место тождество: 1) \(\sin 4\alpha + \sin 4\beta + \sin 4\gamma = -4\sin 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma\); 2) \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2}\); 3) \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma\).
1) Так как \(2\alpha + 2\beta = 2\pi - 2\gamma\), то \[\begin{aligned} \sin(2\alpha + 2\beta) &= \sin(2\pi - 2\gamma) = \sin(-2\gamma) = -\sin 2\gamma; \\ \cos 2\gamma &= \cos(2\pi - (2\alpha + 2\beta)) = \cos(2\alpha + 2\beta). \end{aligned}\] Тогда \[\begin{aligned} &\sin 4\alpha + \sin 4\beta + \sin 4\gamma = 2\sin(2\alpha + 2\beta)\cos(2\alpha - 2\beta) + 2\sin 2\gamma\cos 2\gamma = {} \\ &= -2\sin 2\gamma\cos(2\alpha - 2\beta) + 2\sin 2\gamma\cos(2\alpha + 2\beta) = {} \\ &= -2\sin 2\gamma(\cos(2\alpha - 2\beta) - \cos(2\alpha + 2\beta)) = {} \\ &= -2\sin 2\gamma \cdot 2\sin 2\alpha\sin 2\beta = -4\sin 2\alpha\sin 2\beta\sin 2\gamma. \end{aligned}\]
2) Так как \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то \(\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2}\) и \(\frac{\alpha + \beta}{2} = \pi - \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}\), поэтому \[\begin{aligned} \sin\frac{\gamma}{2} &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \cos\frac{\alpha + \beta}{2}; \\ \cos\frac{\alpha + \beta}{2} &= \cos\left(\pi - \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}\right) = -\cos\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}. \end{aligned}\] Тогда \[\begin{aligned} &\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} + 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2} = {} \\ &= 1 + 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} - 2\cos^2\frac{\alpha + \beta}{2} = {} \\ &= 1 + 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha - \beta}{2} - \cos\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = {} \\ &= 1 + 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} + \cos\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = {} \\ &= 1 + 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot 2\cos\frac{\alpha + \gamma}{2}\cos\frac{\beta + \gamma}{2} = {} \\ &= 1 + 4\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \gamma}{2}\cos\frac{\beta + \gamma}{2}. \end{aligned}\]
3) Так как \(\alpha + \beta = \pi - \gamma\), то \(\cos(\alpha + \beta) = \cos(\pi - \gamma) = -\cos\gamma\). \[\begin{aligned} &\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 + \cos 2\beta}{2} + \cos^2\gamma = {} \\ &= 1 + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + \cos^2\gamma = {} \\ &= 1 - \cos\gamma\cos(\alpha - \beta) - \cos\gamma\cos(\alpha + \beta) = {} \\ &= 1 - \cos\gamma(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) = 1 - \cos\gamma \cdot 2\cos\alpha\cos\beta = {} \\ &= 1 - 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma. \end{aligned}\]
Ответ: если \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то: 1) \(\sin 4\alpha + \sin 4\beta + \sin 4\gamma = -4\sin 2\alpha\sin 2\beta\sin 2\gamma\); 2) \(\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 1 + 4\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \gamma}{2}\cos\frac{\beta + \gamma}{2}\); 3) \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 - 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\).
Докажите, что если \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то имеет место тождество: 1) \(\sin 4\alpha + \sin 4\beta + \sin 4\gamma = -4\sin 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma\); 2) \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2}\); 3) \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma\).
1) Так как \(2\alpha + 2\beta = 2\pi - 2\gamma\), то по периодичности синуса и косинуса, нечётности синуса и чётности косинуса \[\begin{aligned} \sin(2\alpha + 2\beta) &= \sin(2\pi - 2\gamma) = \sin(-2\gamma) = -\sin 2\gamma; \\ \cos 2\gamma &= \cos(2\pi - (2\alpha + 2\beta)) = \cos(2\alpha + 2\beta). \end{aligned}\] По формуле суммы синусов, формуле синуса двойного аргумента и формуле \(\sin x\sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))\): \[\begin{aligned} &\sin 4\alpha + \sin 4\beta + \sin 4\gamma = 2\sin(2\alpha + 2\beta)\cos(2\alpha - 2\beta) + 2\sin 2\gamma\cos 2\gamma = {} \\ &= -2\sin 2\gamma\cos(2\alpha - 2\beta) + 2\sin 2\gamma\cos(2\alpha + 2\beta) = {} \\ &= -2\sin 2\gamma(\cos(2\alpha - 2\beta) - \cos(2\alpha + 2\beta)) = {} \\ &= -2\sin 2\gamma \cdot 2\sin 2\alpha\sin 2\beta = -4\sin 2\alpha\sin 2\beta\sin 2\gamma. \end{aligned}\]
2) Так как \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то \(\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2}\) и \(\frac{\alpha + \beta}{2} = \pi - \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}\). По формулам приведения \[\begin{aligned} \sin\frac{\gamma}{2} &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \cos\frac{\alpha + \beta}{2}; \\ \cos\frac{\alpha + \beta}{2} &= \cos\left(\pi - \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}\right) = -\cos\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}. \end{aligned}\] Применим формулу суммы косинусов, формулу косинуса двойного аргумента \(\cos\gamma = 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}\) и эти равенства: \[\begin{aligned} &\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} + 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2} = {} \\ &= 1 + 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} - 2\cos^2\frac{\alpha + \beta}{2} = {} \\ &= 1 + 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha - \beta}{2} - \cos\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = {} \\ &= 1 + 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} + \cos\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = {} \\ &= 1 + 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot 2\cos\frac{\alpha + \gamma}{2}\cos\frac{\beta + \gamma}{2} = {} \\ &= 1 + 4\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \gamma}{2}\cos\frac{\beta + \gamma}{2}. \end{aligned}\]
3) Так как \(\alpha + \beta = \pi - \gamma\), то по формуле приведения \(\cos(\alpha + \beta) = \cos(\pi - \gamma) = -\cos\gamma\). По формулам понижения степени, формуле суммы косинусов и формуле \(\cos x\cos y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) + \cos(x + y))\): \[\begin{aligned} &\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 + \cos 2\beta}{2} + \cos^2\gamma = {} \\ &= 1 + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + \cos^2\gamma = {} \\ &= 1 - \cos\gamma\cos(\alpha - \beta) - \cos\gamma\cos(\alpha + \beta) = {} \\ &= 1 - \cos\gamma(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) = 1 - \cos\gamma \cdot 2\cos\alpha\cos\beta = {} \\ &= 1 - 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma. \end{aligned}\]
Ответ: если \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то: 1) \(\sin 4\alpha + \sin 4\beta + \sin 4\gamma = -4\sin 2\alpha\sin 2\beta\sin 2\gamma\); 2) \(\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 1 + 4\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \gamma}{2}\cos\frac{\beta + \gamma}{2}\); 3) \(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 - 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\).
