Страница 200 номер 27.21, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

Последнее слагаемое суммы содержит \(\sin(n - 1)\alpha\), поэтому \(n \geqslant 2\); сумма имеет смысл, когда \(\sin\alpha\), \(\sin 2\alpha\), …, \(\sin n\alpha\) отличны от нуля. По формуле разности котангенсов \(\operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} y = \frac{\sin(y - x)}{\sin x\sin y}\), где \(x = k\alpha\), \(y = (k + 1)\alpha\), \(k = 1, 2, \ldots, n - 1\): \[\begin{aligned} &\frac{1}{\sin k\alpha\sin(k + 1)\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin((k + 1)\alpha - k\alpha)}{\sin k\alpha\sin(k + 1)\alpha} = {} \\ &= \frac{\operatorname{ctg} k\alpha - \operatorname{ctg}(k + 1)\alpha}{\sin\alpha}. \end{aligned}\] Запишем такие равенства: \[\begin{aligned} \frac{1}{\sin\alpha\sin 2\alpha} &= \frac{\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg} 2\alpha}{\sin\alpha}; \\ \frac{1}{\sin 2\alpha\sin 3\alpha} &= \frac{\operatorname{ctg} 2\alpha - \operatorname{ctg} 3\alpha}{\sin\alpha}; \\ &\ldots \\ \frac{1}{\sin(n - 1)\alpha\sin n\alpha} &= \frac{\operatorname{ctg}(n - 1)\alpha - \operatorname{ctg} n\alpha}{\sin\alpha}. \end{aligned}\] Сложив эти равенства, получим: \[\begin{aligned} &S = \frac{\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg} 2\alpha + \operatorname{ctg} 2\alpha - \ldots + \operatorname{ctg}(n - 1)\alpha - \operatorname{ctg} n\alpha}{\sin\alpha} = {} \\ &= \frac{\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg} n\alpha}{\sin\alpha}. \end{aligned}\]

Ответ: \(S = \frac{\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg} n\alpha}{\sin\alpha}\).