Страница 199 номер 27.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите тождество: 1) \(1 - 2\cos \alpha + \cos 2\alpha = -4\cos \alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2}\); 2) \(1 - \sin \alpha - \cos \alpha = 2\sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2} \sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)\).
1) \[\begin{aligned} &1 - 2\cos\alpha + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 2\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha - 1) = {} \\ &= -2\cos\alpha(1 - \cos\alpha) = -2\cos\alpha \cdot 2\sin^2\frac{\alpha}{2} = -4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &1 - \sin\alpha - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = {} \\ &= 2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2} - \sin\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = {} \\ &= 2\sin\frac{\alpha}{2} \cdot 2\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)\cos 45^\circ = {} \\ &= 2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right). \end{aligned}\]
Ответ: тождества доказаны.
Докажите тождество: 1) \(1 - 2\cos \alpha + \cos 2\alpha = -4\cos \alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2}\); 2) \(1 - \sin \alpha - \cos \alpha = 2\sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2} \sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)\).
1) Применим формулы понижения степени \(1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha\) и \(1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}\): \[\begin{aligned} &1 - 2\cos\alpha + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 2\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha - 1) = {} \\ &= -2\cos\alpha(1 - \cos\alpha) = -2\cos\alpha \cdot 2\sin^2\frac{\alpha}{2} = -4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}\]
2) По формуле понижения степени \(1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}\), по формуле синуса двойного аргумента \(\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\). Вынесем \(2\sin\frac{\alpha}{2}\) за скобки, по формуле приведения заменим \(\cos\frac{\alpha}{2}\) на \(\sin\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)\) и применим формулу разности синусов: \[\begin{aligned} &1 - \sin\alpha - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = {} \\ &= 2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2} - \sin\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = {} \\ &= 2\sin\frac{\alpha}{2} \cdot 2\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)\cos 45^\circ = {} \\ &= 2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right). \end{aligned}\]
Ответ: тождества доказаны.
