Страница 200 номер 27.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите равенство \(\operatorname{tg} 30^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ + \operatorname{tg} 50^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ = \frac{8\cos 20^\circ}{\sqrt{3}}\).
Сгруппируем \(\operatorname{tg} 30^\circ\) с \(\operatorname{tg} 60^\circ\), а \(\operatorname{tg} 40^\circ\) — с \(\operatorname{tg} 50^\circ\); на \(\cos 10^\circ \ne 0\) сократим: \[\begin{aligned} &\operatorname{tg} 30^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ + \operatorname{tg} 50^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ = {} \\ &= \frac{\sin 90^\circ}{\cos 30^\circ\cos 60^\circ} + \frac{\sin 90^\circ}{\cos 40^\circ\cos 50^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \frac{2}{\cos 10^\circ + \cos 90^\circ} = {} \\ &= \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\cos 10^\circ} = \frac{4\cos 10^\circ + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cos 10^\circ} = \frac{4(\cos 10^\circ + \cos 30^\circ)}{\sqrt{3}\cos 10^\circ} = {} \\ &= \frac{8\cos 20^\circ\cos 10^\circ}{\sqrt{3}\cos 10^\circ} = \frac{8\cos 20^\circ}{\sqrt{3}}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\operatorname{tg} 30^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ + \operatorname{tg} 50^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ = \frac{8\cos 20^\circ}{\sqrt{3}}\).
Докажите равенство \(\operatorname{tg} 30^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ + \operatorname{tg} 50^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ = \frac{8\cos 20^\circ}{\sqrt{3}}\).
Сгруппируем \(\operatorname{tg} 30^\circ\) с \(\operatorname{tg} 60^\circ\), а \(\operatorname{tg} 40^\circ\) — с \(\operatorname{tg} 50^\circ\), и применим формулу суммы тангенсов, формулу \(\cos x\cos y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) + \cos(x + y))\), равенство \(2\sqrt{3} = 4\cos 30^\circ\) и формулу суммы косинусов; на \(\cos 10^\circ \ne 0\) сократим: \[\begin{aligned} &\operatorname{tg} 30^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ + \operatorname{tg} 50^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ = {} \\ &= \frac{\sin 90^\circ}{\cos 30^\circ\cos 60^\circ} + \frac{\sin 90^\circ}{\cos 40^\circ\cos 50^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \frac{2}{\cos 10^\circ + \cos 90^\circ} = {} \\ &= \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\cos 10^\circ} = \frac{4\cos 10^\circ + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cos 10^\circ} = \frac{4(\cos 10^\circ + \cos 30^\circ)}{\sqrt{3}\cos 10^\circ} = {} \\ &= \frac{8\cos 20^\circ\cos 10^\circ}{\sqrt{3}\cos 10^\circ} = \frac{8\cos 20^\circ}{\sqrt{3}}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\operatorname{tg} 30^\circ + \operatorname{tg} 40^\circ + \operatorname{tg} 50^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ = \frac{8\cos 20^\circ}{\sqrt{3}}\).
