Страница 200 номер 27.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что если \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то имеет место тождество: 1) \(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}\); 2) \(\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma\); 3) \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}\); 4) \(\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma\); 5) \(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma = 2\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma\).
Так как \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то \(\alpha + \beta = \pi - \gamma\) и \(\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\), поэтому \[\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) &= \sin(\pi - \gamma) = \sin\gamma; \\ \cos(\alpha + \beta) &= \cos(\pi - \gamma) = -\cos\gamma; \\ \sin\frac{\alpha + \beta}{2} &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \cos\frac{\gamma}{2}; \\ \cos\frac{\alpha + \beta}{2} &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \sin\frac{\gamma}{2}. \end{aligned}\]
1) \[\begin{aligned} &\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} + 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2} = {} \\ &= 2\cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} + 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} = {} \\ &= 2\cos\frac{\gamma}{2}\left(\cos\frac{\alpha + \beta}{2} + \cos\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = {} \\ &= 2\cos\frac{\gamma}{2} \cdot 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}. \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 2\sin(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + 2\sin\gamma\cos\gamma = {} \\ &= 2\sin\gamma\cos(\alpha - \beta) - 2\sin\gamma\cos(\alpha + \beta) = {} \\ &= 2\sin\gamma(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) = 2\sin\gamma \cdot 2\sin\alpha\sin\beta = {} \\ &= 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma. \end{aligned}\]
3) \[\begin{aligned} &\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} + 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2} = {} \\ &= 1 + 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} - 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2} = {} \\ &= 1 + 2\sin\frac{\gamma}{2}\left(\cos\frac{\alpha - \beta}{2} - \cos\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = {} \\ &= 1 + 2\sin\frac{\gamma}{2} \cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2} = 1 + 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}. \end{aligned}\]
4) \[\begin{aligned} &\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = 2\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + 2\cos^2\gamma - 1 = {} \\ &= -1 - 2\cos\gamma\cos(\alpha - \beta) - 2\cos\gamma\cos(\alpha + \beta) = {} \\ &= -1 - 2\cos\gamma(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) = {} \\ &= -1 - 2\cos\gamma \cdot 2\cos\alpha\cos\beta = -1 - 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma. \end{aligned}\]
5) \[\begin{aligned} &\sin^2\alpha + \sin^2\beta - \sin^2\gamma = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 - \cos 2\beta}{2} - (1 - \cos^2\gamma) = {} \\ &= -\frac{\cos 2\alpha + \cos 2\beta}{2} + \cos^2\gamma = -\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + \cos^2\gamma = {} \\ &= \cos\gamma\cos(\alpha - \beta) - \cos\gamma\cos(\alpha + \beta) = {} \\ &= \cos\gamma(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) = \cos\gamma \cdot 2\sin\alpha\sin\beta = {} \\ &= 2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma. \end{aligned}\]
Ответ: если \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то: 1) \(\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\); 2) \(\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\); 3) \(\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 1 + 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\); 4) \(\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\); 5) \(\sin^2\alpha + \sin^2\beta - \sin^2\gamma = 2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma\).
Докажите, что если \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то имеет место тождество: 1) \(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}\); 2) \(\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma\); 3) \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}\); 4) \(\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma\); 5) \(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma = 2\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma\).
Так как \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то \(\alpha + \beta = \pi - \gamma\) и \(\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\). По формулам приведения: \[\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) &= \sin(\pi - \gamma) = \sin\gamma; \\ \cos(\alpha + \beta) &= \cos(\pi - \gamma) = -\cos\gamma; \\ \sin\frac{\alpha + \beta}{2} &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \cos\frac{\gamma}{2}; \\ \cos\frac{\alpha + \beta}{2} &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \sin\frac{\gamma}{2}. \end{aligned}\]
1) По формуле суммы синусов, формуле синуса двойного аргумента и формуле суммы косинусов: \[\begin{aligned} &\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} + 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2} = {} \\ &= 2\cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} + 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2} = {} \\ &= 2\cos\frac{\gamma}{2}\left(\cos\frac{\alpha + \beta}{2} + \cos\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = {} \\ &= 2\cos\frac{\gamma}{2} \cdot 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}. \end{aligned}\]
2) По формуле суммы синусов, формуле синуса двойного аргумента и формуле \(\sin x\sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))\): \[\begin{aligned} &\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 2\sin(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + 2\sin\gamma\cos\gamma = {} \\ &= 2\sin\gamma\cos(\alpha - \beta) - 2\sin\gamma\cos(\alpha + \beta) = {} \\ &= 2\sin\gamma(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) = 2\sin\gamma \cdot 2\sin\alpha\sin\beta = {} \\ &= 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma. \end{aligned}\]
3) По формуле суммы косинусов, формуле косинуса двойного аргумента \(\cos\gamma = 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}\) и формуле \(\sin x\sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))\): \[\begin{aligned} &\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} + 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2} = {} \\ &= 1 + 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} - 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2} = {} \\ &= 1 + 2\sin\frac{\gamma}{2}\left(\cos\frac{\alpha - \beta}{2} - \cos\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = {} \\ &= 1 + 2\sin\frac{\gamma}{2} \cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2} = 1 + 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}. \end{aligned}\]
4) По формуле суммы косинусов, формуле косинуса двойного аргумента \(\cos 2\gamma = 2\cos^2\gamma - 1\) и формуле \(\cos x\cos y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) + \cos(x + y))\): \[\begin{aligned} &\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = 2\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + 2\cos^2\gamma - 1 = {} \\ &= -1 - 2\cos\gamma\cos(\alpha - \beta) - 2\cos\gamma\cos(\alpha + \beta) = {} \\ &= -1 - 2\cos\gamma(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) = {} \\ &= -1 - 2\cos\gamma \cdot 2\cos\alpha\cos\beta = -1 - 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma. \end{aligned}\]
5) По формулам понижения степени, основному тригонометрическому тождеству, формуле суммы косинусов и формуле \(\sin x\sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))\): \[\begin{aligned} &\sin^2\alpha + \sin^2\beta - \sin^2\gamma = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 - \cos 2\beta}{2} - (1 - \cos^2\gamma) = {} \\ &= -\frac{\cos 2\alpha + \cos 2\beta}{2} + \cos^2\gamma = -\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + \cos^2\gamma = {} \\ &= \cos\gamma\cos(\alpha - \beta) - \cos\gamma\cos(\alpha + \beta) = {} \\ &= \cos\gamma(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) = \cos\gamma \cdot 2\sin\alpha\sin\beta = {} \\ &= 2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma. \end{aligned}\]
Ответ: если \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\), то: 1) \(\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\); 2) \(\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\); 3) \(\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 1 + 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\); 4) \(\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\); 5) \(\sin^2\alpha + \sin^2\beta - \sin^2\gamma = 2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma\).
