Страница 199 номер 27.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите тождество: 1) \(1 + \sin \alpha + \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\); 2) \(\frac{1 + \cos(4\alpha - 2\pi) + \cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{1 + \cos(4\alpha + \pi) + \cos\left(4\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)} = \operatorname{ctg} 2\alpha\).
1) \[\begin{aligned} &1 + \sin\alpha + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = {} \\ &= 2\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2} + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = {} \\ &= 2\cos\frac{\alpha}{2} \cdot 2\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = {} \\ &= 2\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right). \end{aligned}\]
2) \(\cos(4\alpha - 2\pi) = \cos 4\alpha\);
\(\cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) = \sin 4\alpha\);
\(\cos(4\alpha + \pi) = -\cos 4\alpha\);
\(\cos\left(4\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin 4\alpha\).
Знаменатель примет вид \(2\sin 2\alpha(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)\); левая часть имеет смысл, когда он не равен нулю, поэтому \(\sin 2\alpha \ne 0\), \(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha \ne 0\), и дробь можно сократить на \(2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)\): \[\begin{aligned} &\frac{1 + \cos(4\alpha - 2\pi) + \cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{1 + \cos(4\alpha + \pi) + \cos\left(4\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)} = {} \\ &= \frac{1 + \cos 4\alpha + \sin 4\alpha}{1 - \cos 4\alpha + \sin 4\alpha} = \frac{2\cos^2 2\alpha + 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha}{2\sin^2 2\alpha + 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha} = {} \\ &= \frac{2\cos 2\alpha(\cos 2\alpha + \sin 2\alpha)}{2\sin 2\alpha(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)} = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \operatorname{ctg} 2\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: тождества доказаны.
Докажите тождество: 1) \(1 + \sin \alpha + \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\); 2) \(\frac{1 + \cos(4\alpha - 2\pi) + \cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{1 + \cos(4\alpha + \pi) + \cos\left(4\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)} = \operatorname{ctg} 2\alpha\).
1) По формуле понижения степени \(1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}\), по формуле синуса двойного аргумента \(\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\). Вынесем \(2\cos\frac{\alpha}{2}\) за скобки, по формуле приведения заменим \(\sin\frac{\alpha}{2}\) на \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right)\) и применим формулу суммы косинусов: \[\begin{aligned} &1 + \sin\alpha + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = {} \\ &= 2\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2} + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = {} \\ &= 2\cos\frac{\alpha}{2} \cdot 2\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = {} \\ &= 2\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right). \end{aligned}\]
2) По периодичности и чётности косинуса и формулам приведения \(\cos(4\alpha - 2\pi) = \cos 4\alpha\), \(\cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) = \sin 4\alpha\), \(\cos(4\alpha + \pi) = -\cos 4\alpha\), \(\cos\left(4\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin 4\alpha\). Затем применим формулы понижения степени \(1 + \cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha\), \(1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2 2\alpha\) и формулу синуса двойного аргумента \(\sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha\). Знаменатель примет вид \(2\sin 2\alpha(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)\); левая часть имеет смысл, когда он не равен нулю, поэтому \(\sin 2\alpha \ne 0\), \(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha \ne 0\), и дробь можно сократить на \(2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)\): \[\begin{aligned} &\frac{1 + \cos(4\alpha - 2\pi) + \cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{1 + \cos(4\alpha + \pi) + \cos\left(4\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)} = {} \\ &= \frac{1 + \cos 4\alpha + \sin 4\alpha}{1 - \cos 4\alpha + \sin 4\alpha} = \frac{2\cos^2 2\alpha + 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha}{2\sin^2 2\alpha + 2\sin 2\alpha\cos 2\alpha} = {} \\ &= \frac{2\cos 2\alpha(\cos 2\alpha + \sin 2\alpha)}{2\sin 2\alpha(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)} = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \operatorname{ctg} 2\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: тождества доказаны.
