Страница 200 номер 27.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Упростите выражение: 1) \(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)\); 2) \(\cos^2(45^\circ - \alpha) - \cos^2(60^\circ + \alpha) - \sin(75^\circ - 2\alpha)\cos 75^\circ\).
1) \[\begin{aligned} &\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = {} \\ &= \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 - \cos 2\beta}{2} + \frac{\cos 2\beta + \cos 2\alpha}{2} = 1. \end{aligned}\]
2) \(\cos(90^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha\);
\(\cos(120^\circ + 2\alpha) = \cos(90^\circ + (30^\circ + 2\alpha)) = -\sin(30^\circ + 2\alpha)\);
\(\sin(150^\circ - 2\alpha) = \sin(180^\circ - (30^\circ + 2\alpha)) = \sin(30^\circ + 2\alpha)\):
\[\begin{aligned} &\cos^2(45^\circ - \alpha) - \cos^2(60^\circ + \alpha) - \sin(75^\circ - 2\alpha)\cos 75^\circ = {} \\ &= \frac{\cos(90^\circ - 2\alpha) - \cos(120^\circ + 2\alpha)}{2} - \frac{\sin(-2\alpha) + \sin(150^\circ - 2\alpha)}{2} = {} \\ &= \frac{\sin 2\alpha + \sin(30^\circ + 2\alpha) + \sin 2\alpha - \sin(30^\circ + 2\alpha)}{2} = \sin 2\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(1\); 2) \(\sin 2\alpha\).
Упростите выражение: 1) \(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)\); 2) \(\cos^2(45^\circ - \alpha) - \cos^2(60^\circ + \alpha) - \sin(75^\circ - 2\alpha)\cos 75^\circ\).
1) По формуле понижения степени \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\) и формуле \(\cos x\cos y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) + \cos(x + y))\): \[\begin{aligned} &\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = {} \\ &= \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 - \cos 2\beta}{2} + \frac{\cos 2\beta + \cos 2\alpha}{2} = 1. \end{aligned}\]
2) Применим формулу понижения степени \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\), формулу \(\sin x\cos y = \frac{1}{2}(\sin(x - y) + \sin(x + y))\), нечётность синуса и формулы приведения: \(\cos(90^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha\), \(\cos(120^\circ + 2\alpha) = \cos(90^\circ + (30^\circ + 2\alpha)) = -\sin(30^\circ + 2\alpha)\), \(\sin(150^\circ - 2\alpha) = \sin(180^\circ - (30^\circ + 2\alpha)) = \sin(30^\circ + 2\alpha)\): \[\begin{aligned} &\cos^2(45^\circ - \alpha) - \cos^2(60^\circ + \alpha) - \sin(75^\circ - 2\alpha)\cos 75^\circ = {} \\ &= \frac{\cos(90^\circ - 2\alpha) - \cos(120^\circ + 2\alpha)}{2} - \frac{\sin(-2\alpha) + \sin(150^\circ - 2\alpha)}{2} = {} \\ &= \frac{\sin 2\alpha + \sin(30^\circ + 2\alpha) + \sin 2\alpha - \sin(30^\circ + 2\alpha)}{2} = \sin 2\alpha. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(1\); 2) \(\sin 2\alpha\).
