Страница 200 номер 27.19, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите равенство: 1) \(\cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2}\); 2) \(\sin 10^\circ + \sin 20^\circ + \ldots + \sin 50^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{2\sin 5^\circ}\).
1) Так как \(0 < \frac{\pi}{7} < \pi\), то \(\sin\frac{\pi}{7} \ne 0\); умножим и разделим левую часть на \(2\sin\frac{\pi}{7}\). \[\begin{aligned} 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7} &= -\sin\frac{\pi}{7} + \sin\frac{3\pi}{7}; \\ 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} &= -\sin\frac{3\pi}{7} + \sin\frac{5\pi}{7}; \\ 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7} &= -\sin\frac{5\pi}{7} + \sin\pi. \end{aligned}\] Сумма этих произведений равна \(-\sin\frac{\pi}{7} + \sin\pi = -\sin\frac{\pi}{7}\), поэтому \[\cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = \frac{-\sin\frac{\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = -\frac{1}{2}.\]
2) Так как \(0^\circ < 5^\circ < 180^\circ\), то \(\sin 5^\circ \ne 0\); умножим и разделим левую часть на \(2\sin 5^\circ\). \[\begin{aligned} 2\sin 10^\circ\sin 5^\circ &= \cos 5^\circ - \cos 15^\circ; \\ 2\sin 20^\circ\sin 5^\circ &= \cos 15^\circ - \cos 25^\circ; \\ 2\sin 30^\circ\sin 5^\circ &= \cos 25^\circ - \cos 35^\circ; \\ 2\sin 40^\circ\sin 5^\circ &= \cos 35^\circ - \cos 45^\circ; \\ 2\sin 50^\circ\sin 5^\circ &= \cos 45^\circ - \cos 55^\circ. \end{aligned}\] Сумма этих произведений равна \(\cos 5^\circ - \cos 55^\circ = -2\sin 30^\circ\sin(-25^\circ) = \sin 25^\circ\), поэтому \[\sin 10^\circ + \sin 20^\circ + \ldots + \sin 50^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{2\sin 5^\circ}.\]
Ответ: 1) \(\cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2}\); 2) \(\sin 10^\circ + \sin 20^\circ + \ldots + \sin 50^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{2\sin 5^\circ}\).
Докажите равенство: 1) \(\cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2}\); 2) \(\sin 10^\circ + \sin 20^\circ + \ldots + \sin 50^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{2\sin 5^\circ}\).
1) Так как \(0 < \frac{\pi}{7} < \pi\), то \(\sin\frac{\pi}{7} \ne 0\); умножим и разделим левую часть на \(2\sin\frac{\pi}{7}\). Произведения, которые получатся в числителе, преобразуем в суммы по формуле \(\sin x\cos y = \frac{1}{2}(\sin(x - y) + \sin(x + y))\) с учётом нечётности синуса: \[\begin{aligned} 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7} &= -\sin\frac{\pi}{7} + \sin\frac{3\pi}{7}; \\ 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} &= -\sin\frac{3\pi}{7} + \sin\frac{5\pi}{7}; \\ 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7} &= -\sin\frac{5\pi}{7} + \sin\pi. \end{aligned}\] Сумма этих произведений равна \(-\sin\frac{\pi}{7} + \sin\pi = -\sin\frac{\pi}{7}\), поэтому \[\cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = \frac{-\sin\frac{\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = -\frac{1}{2}.\]
2) Так как \(0^\circ < 5^\circ < 180^\circ\), то \(\sin 5^\circ \ne 0\); умножим и разделим левую часть на \(2\sin 5^\circ\). Произведения, которые получатся в числителе, преобразуем по формуле \(\sin x\sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))\): \[\begin{aligned} 2\sin 10^\circ\sin 5^\circ &= \cos 5^\circ - \cos 15^\circ; \\ 2\sin 20^\circ\sin 5^\circ &= \cos 15^\circ - \cos 25^\circ; \\ 2\sin 30^\circ\sin 5^\circ &= \cos 25^\circ - \cos 35^\circ; \\ 2\sin 40^\circ\sin 5^\circ &= \cos 35^\circ - \cos 45^\circ; \\ 2\sin 50^\circ\sin 5^\circ &= \cos 45^\circ - \cos 55^\circ. \end{aligned}\] По формуле разности косинусов и нечётности синуса сумма этих произведений равна \(\cos 5^\circ - \cos 55^\circ = -2\sin 30^\circ\sin(-25^\circ) = \sin 25^\circ\), поэтому \[\sin 10^\circ + \sin 20^\circ + \ldots + \sin 50^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{2\sin 5^\circ}.\]
Ответ: 1) \(\cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2}\); 2) \(\sin 10^\circ + \sin 20^\circ + \ldots + \sin 50^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{2\sin 5^\circ}\).
