Страница 200 номер 27.23, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

Для угла \(\beta\), у которого \(\sin\beta \ne 0\) и \(\cos\beta \ne 0\), по формулам синуса и косинуса двойного аргумента: \[\begin{aligned} &\operatorname{ctg}\beta - \operatorname{tg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\cos^2\beta - \sin^2\beta}{\sin\beta\cos\beta} = {} \\ &= \frac{\cos 2\beta}{\frac{1}{2}\sin 2\beta} = 2\operatorname{ctg} 2\beta. \end{aligned}\] Отсюда \(\operatorname{tg}\beta = \operatorname{ctg}\beta - 2\operatorname{ctg} 2\beta\).

При \(\beta = \frac{1}{2^k}\), где \(k = 1, 2, \ldots, n\), имеем \(0 < \beta \leqslant \frac{1}{2} < \frac{\pi}{2}\), поэтому \(\sin\beta \ne 0\) и \(\cos\beta \ne 0\). Тогда \[\begin{aligned} &\frac{1}{2^k}\operatorname{tg}\frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^k}\left(\operatorname{ctg}\frac{1}{2^k} - 2\operatorname{ctg}\frac{2}{2^k}\right) = {} \\ &= \frac{1}{2^k}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^k} - \frac{1}{2^{k - 1}}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^{k - 1}}. \end{aligned}\] Запишем такие равенства: \[\begin{aligned} \frac{1}{2}\operatorname{tg}\frac{1}{2} &= \frac{1}{2}\operatorname{ctg}\frac{1}{2} - \operatorname{ctg} 1; \\ \frac{1}{4}\operatorname{tg}\frac{1}{4} &= \frac{1}{4}\operatorname{ctg}\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\operatorname{ctg}\frac{1}{2}; \\ &\ldots \\ \frac{1}{2^n}\operatorname{tg}\frac{1}{2^n} &= \frac{1}{2^n}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{n - 1}}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^{n - 1}}. \end{aligned}\] Сложив эти равенства, получим: \[\begin{aligned} &S = -\operatorname{ctg} 1 + \frac{1}{2}\operatorname{ctg}\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\operatorname{ctg}\frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^n}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^n} = {} \\ &= \frac{1}{2^n}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^n} - \operatorname{ctg} 1. \end{aligned}\]

Ответ: \(S = \frac{1}{2^n}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^n} - \operatorname{ctg} 1\).