Страница 200 номер 27.22, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Вычислите сумму \(S = \frac{1}{\sin 1 \sin 3} + \frac{1}{\sin 3 \sin 5} + \ldots + \frac{1}{\sin(2n - 1)\sin(2n + 1)}\).
Так как \(0 < 2 < \pi\), то \(\sin 2 \ne 0\).
При \(k = 1, 2, \ldots, n\) \[\begin{aligned} &\frac{1}{\sin(2k - 1)\sin(2k + 1)} = \frac{1}{\sin 2} \cdot \frac{\sin((2k + 1) - (2k - 1))}{\sin(2k - 1)\sin(2k + 1)} = {} \\ &= \frac{\operatorname{ctg}(2k - 1) - \operatorname{ctg}(2k + 1)}{\sin 2}. \end{aligned}\] Значит, \[\begin{aligned} \frac{1}{\sin 1\sin 3} &= \frac{\operatorname{ctg} 1 - \operatorname{ctg} 3}{\sin 2}; \\ \frac{1}{\sin 3\sin 5} &= \frac{\operatorname{ctg} 3 - \operatorname{ctg} 5}{\sin 2}; \\ &\ldots \\ \frac{1}{\sin(2n - 1)\sin(2n + 1)} &= \frac{\operatorname{ctg}(2n - 1) - \operatorname{ctg}(2n + 1)}{\sin 2}. \end{aligned}\] Сложив эти равенства, получим: \[\begin{aligned} &S = \frac{\operatorname{ctg} 1 - \operatorname{ctg} 3 + \operatorname{ctg} 3 - \ldots + \operatorname{ctg}(2n - 1) - \operatorname{ctg}(2n + 1)}{\sin 2} = {} \\ &= \frac{\operatorname{ctg} 1 - \operatorname{ctg}(2n + 1)}{\sin 2}. \end{aligned}\]
Ответ: \(S = \frac{\operatorname{ctg} 1 - \operatorname{ctg}(2n + 1)}{\sin 2}\).
Вычислите сумму \(S = \frac{1}{\sin 1 \sin 3} + \frac{1}{\sin 3 \sin 5} + \ldots + \frac{1}{\sin(2n - 1)\sin(2n + 1)}\).
Так как \(0 < 2 < \pi\), то \(\sin 2 \ne 0\). По формуле разности котангенсов \(\operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} y = \frac{\sin(y - x)}{\sin x\sin y}\), где \(x = 2k - 1\), \(y = 2k + 1\), \(k = 1, 2, \ldots, n\): \[\begin{aligned} &\frac{1}{\sin(2k - 1)\sin(2k + 1)} = \frac{1}{\sin 2} \cdot \frac{\sin((2k + 1) - (2k - 1))}{\sin(2k - 1)\sin(2k + 1)} = {} \\ &= \frac{\operatorname{ctg}(2k - 1) - \operatorname{ctg}(2k + 1)}{\sin 2}. \end{aligned}\] Запишем такие равенства: \[\begin{aligned} \frac{1}{\sin 1\sin 3} &= \frac{\operatorname{ctg} 1 - \operatorname{ctg} 3}{\sin 2}; \\ \frac{1}{\sin 3\sin 5} &= \frac{\operatorname{ctg} 3 - \operatorname{ctg} 5}{\sin 2}; \\ &\ldots \\ \frac{1}{\sin(2n - 1)\sin(2n + 1)} &= \frac{\operatorname{ctg}(2n - 1) - \operatorname{ctg}(2n + 1)}{\sin 2}. \end{aligned}\] Сложив эти равенства, получим: \[\begin{aligned} &S = \frac{\operatorname{ctg} 1 - \operatorname{ctg} 3 + \operatorname{ctg} 3 - \ldots + \operatorname{ctg}(2n - 1) - \operatorname{ctg}(2n + 1)}{\sin 2} = {} \\ &= \frac{\operatorname{ctg} 1 - \operatorname{ctg}(2n + 1)}{\sin 2}. \end{aligned}\]
Ответ: \(S = \frac{\operatorname{ctg} 1 - \operatorname{ctg}(2n + 1)}{\sin 2}\).
