Страница 178 номер 24.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Пользуясь формулами сложения, найдите: 1) \(\sin 15^\circ\); 2) \(\sin 105^\circ\); 3) \(\operatorname{ctg} 105^\circ\).
1) \[\begin{aligned} &\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = {} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}. \end{aligned}\]
2) \[\begin{aligned} &\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = {} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \end{aligned}\]
3) \[\operatorname{tg} 105^\circ = \operatorname{tg}(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\operatorname{tg} 60^\circ + \operatorname{tg} 45^\circ}{1 - \operatorname{tg} 60^\circ \operatorname{tg} 45^\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}.\] Угол \(105^\circ\) не кратен \(90^\circ\), поэтому \(\operatorname{tg} 105^\circ \operatorname{ctg} 105^\circ = 1\): \[\begin{aligned} &\operatorname{ctg} 105^\circ = \frac{1}{\operatorname{tg} 105^\circ} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{3})^2}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = {} \\ &= \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3} - 2. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\); 2) \(\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\); 3) \(\operatorname{ctg} 105^\circ = \sqrt{3} - 2\).
Пользуясь формулами сложения, найдите: 1) \(\sin 15^\circ\); 2) \(\sin 105^\circ\); 3) \(\operatorname{ctg} 105^\circ\).
1) По формуле синуса разности: \[\begin{aligned} &\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = {} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}. \end{aligned}\]
2) По формуле синуса суммы: \[\begin{aligned} &\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = {} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \end{aligned}\]
3) Найдём \(\operatorname{tg} 105^\circ\) по формуле тангенса суммы: \[\operatorname{tg} 105^\circ = \operatorname{tg}(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\operatorname{tg} 60^\circ + \operatorname{tg} 45^\circ}{1 - \operatorname{tg} 60^\circ \operatorname{tg} 45^\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}.\] Угол \(105^\circ\) не кратен \(90^\circ\), поэтому \(\operatorname{tg} 105^\circ \operatorname{ctg} 105^\circ = 1\). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на \(1 - \sqrt{3}\): \[\begin{aligned} &\operatorname{ctg} 105^\circ = \frac{1}{\operatorname{tg} 105^\circ} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{3})^2}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = {} \\ &= \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3} - 2. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\); 2) \(\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\); 3) \(\operatorname{ctg} 105^\circ = \sqrt{3} - 2\).
