Страница 179 номер 24.23, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

1) Умножим и разделим выражение на 2: \[\sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha = 2\left(\frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right).\] Учитывая, что \(\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}\), по формуле синуса разности получаем: \[\sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha = 2\left(\sin\alpha\cos\frac{\pi}{3} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right).\] Так как \(\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) \leqslant 1\), наибольшее значение выражения равно \(2\) (его выражение принимает при \(\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) = 1\), например при \(\alpha = \frac{5\pi}{6}\)).

2) Так как \(4^2 + 5^2 = 41\), умножим и разделим выражение на \(\sqrt{41}\): \[4\sin\alpha + 5\cos\alpha = \sqrt{41}\left(\frac{4}{\sqrt{41}}\sin\alpha + \frac{5}{\sqrt{41}}\cos\alpha\right).\] Точка \(\left(\frac{4}{\sqrt{41}};\ \frac{5}{\sqrt{41}}\right)\) лежит на единичной окружности, так как \(\frac{16}{41} + \frac{25}{41} = 1\); значит, существует угол \(\varphi\), для которого \(\cos\varphi = \frac{4}{\sqrt{41}}\), \(\sin\varphi = \frac{5}{\sqrt{41}}\). Тогда по формуле синуса суммы \[4\sin\alpha + 5\cos\alpha = \sqrt{41}(\sin\alpha\cos\varphi + \cos\alpha\sin\varphi) = \sqrt{41}\sin(\alpha + \varphi).\] Так как \(\sin(\alpha + \varphi) \leqslant 1\), наибольшее значение выражения равно \(\sqrt{41}\) (его выражение принимает при \(\sin(\alpha + \varphi) = 1\), например при \(\alpha = \frac{\pi}{2} - \varphi\)).

3) Умножим и разделим выражение на \(\sqrt{2}\): \[\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha\right).\] Учитывая, что \(\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}\), по формуле синуса суммы получаем: \[\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\left(\sin\alpha\cos\frac{\pi}{4} + \cos\alpha\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right).\] Так как \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \leqslant 1\), наибольшее значение выражения равно \(\sqrt{2}\) (его выражение принимает при \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 1\), например при \(\alpha = \frac{\pi}{4}\)).

4) Так как \(2^2 + 1^2 = 5\), умножим и разделим выражение на \(\sqrt{5}\): \[2\sin\alpha - \cos\alpha = \sqrt{5}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\sin\alpha - \frac{1}{\sqrt{5}}\cos\alpha\right).\] Точка \(\left(\frac{2}{\sqrt{5}};\ \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\) лежит на единичной окружности, так как \(\frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1\); значит, существует угол \(\varphi\), для которого \(\cos\varphi = \frac{2}{\sqrt{5}}\), \(\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{5}}\). Тогда по формуле синуса разности \[2\sin\alpha - \cos\alpha = \sqrt{5}(\sin\alpha\cos\varphi - \cos\alpha\sin\varphi) = \sqrt{5}\sin(\alpha - \varphi).\] Так как \(\sin(\alpha - \varphi) \leqslant 1\), наибольшее значение выражения равно \(\sqrt{5}\) (его выражение принимает при \(\sin(\alpha - \varphi) = 1\), например при \(\alpha = \frac{\pi}{2} + \varphi\)).

Ответ: наибольшее значение: 1) \(2\); 2) \(\sqrt{41}\); 3) \(\sqrt{2}\); 4) \(\sqrt{5}\).