Страница 173 номер 23.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \sin^2 \sqrt{1 - x^2} + \cos^2 \sqrt{1 - x^2}\); 2) \(y = \operatorname{tg}^2 x - \frac{1}{\cos^2 x}\).
1) Функция определена при \(1 - x^2 \geqslant 0\), то есть при \(-1 \leqslant x \leqslant 1\), и для каждого такого \(x\) имеем \(\sin^2\sqrt{1 - x^2} + \cos^2\sqrt{1 - x^2} = 1\). Значит, \(y = 1\) при \(x \in [-1;\ 1]\), и график функции — отрезок с концами \((-1;\ 1)\) и \((1;\ 1)\).
2) Функция определена при \(\cos x \ne 0\), то есть при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), и для таких \(x\) \[y = \operatorname{tg}^2 x - \frac{1}{\cos^2 x} = \operatorname{tg}^2 x - (1 + \operatorname{tg}^2 x) = -1.\] График функции — прямая \(y = -1\), из которой выколоты точки \(\left(\frac{\pi}{2} + \pi k;\ -1\right)\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Постройте график функции: 1) \(y = \sin^2 \sqrt{1 - x^2} + \cos^2 \sqrt{1 - x^2}\); 2) \(y = \operatorname{tg}^2 x - \frac{1}{\cos^2 x}\).
1) Функция определена при \(1 - x^2 \geqslant 0\), то есть при \(-1 \leqslant x \leqslant 1\). Для каждого такого \(x\) по основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2\sqrt{1 - x^2} + \cos^2\sqrt{1 - x^2} = 1\). Значит, \(y = 1\) при \(x \in [-1;\ 1]\), и график функции — отрезок с концами \((-1;\ 1)\) и \((1;\ 1)\).
2) Функция определена при \(\cos x \ne 0\), то есть при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Для таких \(x\) верно тождество \(1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\), поэтому \[y = \operatorname{tg}^2 x - \frac{1}{\cos^2 x} = \operatorname{tg}^2 x - (1 + \operatorname{tg}^2 x) = -1.\] Значит, график функции — прямая \(y = -1\), из которой выколоты точки \(\left(\frac{\pi}{2} + \pi k;\ -1\right)\), \(k \in \mathbf{Z}\).
