Страница 179 номер 24.31, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Дано: \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{21}}{7}\), \(\sin\beta = \frac{5\sqrt{7}}{14}\), \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), \(0^\circ < \beta < 90^\circ\). Найдите \(\alpha + \beta\).
Так как \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\) и \(0^\circ < \beta < 90^\circ\), то \(\sin\alpha > 0\) и \(\cos\beta > 0\): \[\begin{aligned} \sin\alpha &= \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{21}{49}} = \sqrt{\frac{28}{49}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}; \\ \cos\beta &= \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \frac{175}{196}} = \sqrt{\frac{21}{196}} = \frac{\sqrt{21}}{14}. \end{aligned}\] Тогда \[\begin{aligned} &\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \frac{\sqrt{21}}{7} \cdot \frac{\sqrt{21}}{14} - \frac{2\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{5\sqrt{7}}{14} = {} \\ &= \frac{21}{98} - \frac{70}{98} = -\frac{49}{98} = -\frac{1}{2}. \end{aligned}\] \(0^\circ < \alpha + \beta < 180^\circ\), а на промежутке \((0^\circ;\ 180^\circ)\) косинус убывает и поэтому каждое своё значение принимает на нём только один раз; \(\cos(\alpha + \beta) = -\frac{1}{2} = \cos 120^\circ\), значит, \(\alpha + \beta = 120^\circ\).
Ответ: \(\alpha + \beta = 120^\circ\).
Дано: \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{21}}{7}\), \(\sin\beta = \frac{5\sqrt{7}}{14}\), \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), \(0^\circ < \beta < 90^\circ\). Найдите \(\alpha + \beta\).
Так как \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\) и \(0^\circ < \beta < 90^\circ\), то \(\sin\alpha > 0\) и \(\cos\beta > 0\): \[\begin{aligned} \sin\alpha &= \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{21}{49}} = \sqrt{\frac{28}{49}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}; \\ \cos\beta &= \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \frac{175}{196}} = \sqrt{\frac{21}{196}} = \frac{\sqrt{21}}{14}. \end{aligned}\] По формуле косинуса суммы \[\begin{aligned} &\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \frac{\sqrt{21}}{7} \cdot \frac{\sqrt{21}}{14} - \frac{2\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{5\sqrt{7}}{14} = {} \\ &= \frac{21}{98} - \frac{70}{98} = -\frac{49}{98} = -\frac{1}{2}. \end{aligned}\] Так как \(0^\circ < \alpha + \beta < 180^\circ\), а на промежутке \((0^\circ;\ 180^\circ)\) косинус убывает и поэтому каждое своё значение принимает на нём только один раз, то из равенства \(\cos(\alpha + \beta) = -\frac{1}{2} = \cos 120^\circ\) следует, что \(\alpha + \beta = 120^\circ\).
Ответ: \(\alpha + \beta = 120^\circ\).
