Страница 179 номер 24.26, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

Так как \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), то \(-\frac{3\pi}{2} < -\alpha < -\pi\) и \(-\frac{5\pi}{4} < \frac{\pi}{4} - \alpha < -\frac{3\pi}{4}\). На промежутке \(\left(-\frac{5\pi}{4};\ -\pi\right]\) синус неотрицателен (это углы II четверти и угол \(-\pi\)), а по условию \(\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) < 0\). Значит, \(-\pi < \frac{\pi}{4} - \alpha < -\frac{3\pi}{4}\), то есть \(\frac{\pi}{4} - \alpha\) — угол III четверти, поэтому \(\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) < 0\) и \[\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = -\sqrt{1 - \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)} = -\sqrt{1 - \frac{2}{100}} = -\sqrt{\frac{98}{100}} = -\frac{7\sqrt{2}}{10}.\] Так как \(\alpha = \frac{\pi}{4} - \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\), то по формуле синуса разности \[\begin{aligned} &\sin\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{4} - \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right) = {} \\ &= \sin\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) - \cos\frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = {} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{7\sqrt{2}}{10}\right) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{10}\right) = -\frac{14}{20} + \frac{2}{20} = -\frac{12}{20} = -0{,}6. \end{aligned}\]

Ответ: \(\sin\alpha = -0{,}6\).