Вопросы после параграфа §24 на странице 177, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Какие формулы называют формулами сложения? Запишите их.
Формулами сложения называют формулы, выражающие \(\cos(\alpha \pm \beta)\), \(\sin(\alpha \pm \beta)\) и \(\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta)\) через тригонометрические функции углов \(\alpha\) и \(\beta\).
\[\begin{aligned} \cos(\alpha - \beta) &= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta; \\ \cos(\alpha + \beta) &= \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta; \\ \sin(\alpha + \beta) &= \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta; \\ \sin(\alpha - \beta) &= \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta. \end{aligned}\] Эти четыре формулы верны при любых \(\alpha\) и \(\beta\).
\[\begin{aligned} \operatorname{tg}(\alpha + \beta) &= \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}; \\ \operatorname{tg}(\alpha - \beta) &= \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}. \end{aligned}\] Формула тангенса суммы верна при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\) и \(\cos(\alpha + \beta) \ne 0\), формула тангенса разности — при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\) и \(\cos(\alpha - \beta) \ne 0\).
Ответ: формулами сложения называют формулы, выражающие \(\cos(\alpha \pm \beta)\), \(\sin(\alpha \pm \beta)\) и \(\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta)\) через тригонометрические функции углов \(\alpha\) и \(\beta\). При любых \(\alpha\) и \(\beta\) верны формулы \(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\); \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\); \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\); \(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\). Формула \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}\) верна при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\), \(\cos(\alpha + \beta) \ne 0\), формула \(\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}\) — при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\), \(\cos(\alpha - \beta) \ne 0\).
Какие формулы называют формулами сложения? Запишите их.
Формулами сложения называют формулы, выражающие \(\cos(\alpha \pm \beta)\), \(\sin(\alpha \pm \beta)\) и \(\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta)\) через тригонометрические функции углов \(\alpha\) и \(\beta\).
Формулы косинуса разности и косинуса суммы: \[\begin{aligned} \cos(\alpha - \beta) &= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta; \\ \cos(\alpha + \beta) &= \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta. \end{aligned}\]
Формулы синуса суммы и синуса разности: \[\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) &= \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta; \\ \sin(\alpha - \beta) &= \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta. \end{aligned}\]
Эти четыре формулы верны при любых \(\alpha\) и \(\beta\).
Формулы тангенса суммы и тангенса разности: \[\begin{aligned} \operatorname{tg}(\alpha + \beta) &= \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}; \\ \operatorname{tg}(\alpha - \beta) &= \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}. \end{aligned}\]
Формула тангенса суммы верна при всех \(\alpha\) и \(\beta\), для которых \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\) и \(\cos(\alpha + \beta) \ne 0\), формула тангенса разности — при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\) и \(\cos(\alpha - \beta) \ne 0\).
Например, по формуле косинуса суммы \(\cos 75^\circ \cos 15^\circ - \sin 75^\circ \sin 15^\circ = \cos(75^\circ + 15^\circ) = \cos 90^\circ = 0\).
Ответ: формулами сложения называют формулы, выражающие \(\cos(\alpha \pm \beta)\), \(\sin(\alpha \pm \beta)\) и \(\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta)\) через тригонометрические функции углов \(\alpha\) и \(\beta\). При любых \(\alpha\) и \(\beta\) верны формулы \(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\); \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\); \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\); \(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\). Формула \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}\) верна при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\), \(\cos(\alpha + \beta) \ne 0\), формула \(\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}\) — при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\), \(\cos(\alpha - \beta) \ne 0\).
