Страница 179 номер 24.25, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

Так как \(\frac{5\pi}{6} < \alpha < \frac{4\pi}{3}\), то \(-\frac{4\pi}{3} < -\alpha < -\frac{5\pi}{6}\) и \(-\pi < \frac{\pi}{3} - \alpha < -\frac{\pi}{2}\). Углы этого промежутка — углы III четверти, поэтому \(\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) < 0\) и \[\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = -\sqrt{1 - \cos^2\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)} = -\sqrt{1 - \frac{4}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5}.\] Так как \(\alpha = \frac{\pi}{3} - \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\), то по формуле синуса разности \[\begin{aligned} &\sin\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{3} - \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\right) = {} \\ &= \sin\frac{\pi}{3}\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) - \cos\frac{\pi}{3}\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = {} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right) = \frac{\sqrt{21} - 2\sqrt{3}}{10}. \end{aligned}\]

Ответ: \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{21} - 2\sqrt{3}}{10}\).