Страница 178 номер 24.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа

1) Преобразуем числитель и знаменатель левой части по формулам синуса суммы и косинуса суммы, учитывая, что \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Знаменатель окажется равным \(\sqrt{2}\cos\alpha\), поэтому обе части тождества имеют смысл при одних и тех же значениях \(\alpha\) — при \(\cos\alpha \ne 0\): \[\begin{aligned} &\frac{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)} = {} \\ &= \frac{\sin 45^\circ\cos\alpha + \cos 45^\circ\sin\alpha - \cos 45^\circ\cos\alpha + \sin 45^\circ\sin\alpha}{\sin 45^\circ\cos\alpha + \cos 45^\circ\sin\alpha + \cos 45^\circ\cos\alpha - \sin 45^\circ\sin\alpha} = {} \\ &= \frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha. \end{aligned}\]

2) Преобразуем числитель и знаменатель левой части по формулам синуса разности и косинуса разности, учитывая, что \(2\sin 60^\circ = 2\cos 30^\circ = \sqrt{3}\), \(2\cos 60^\circ = 2\sin 30^\circ = 1\). Знаменатель окажется равным \(\sin\alpha\), поэтому обе части тождества имеют смысл при одних и тех же значениях \(\alpha\) — при \(\sin\alpha \ne 0\): \[\begin{aligned} &\frac{\sin\alpha + 2\sin(60^\circ - \alpha)}{2\cos(30^\circ - \alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha} = {} \\ &= \frac{\sin\alpha + 2(\sin 60^\circ\cos\alpha - \cos 60^\circ\sin\alpha)}{2(\cos 30^\circ\cos\alpha + \sin 30^\circ\sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha} = {} \\ &= \frac{\sin\alpha + \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha}{\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha} = \frac{\sqrt{3}\cos\alpha}{\sin\alpha} = \sqrt{3}\operatorname{ctg}\alpha. \end{aligned}\]

Ответ: тождества доказаны.