10класс
Страница 173 номер 23.19, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Глава 3. Тригонометрические функции. §23. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Страница 173. Номер 23.19
Задание / условие:
Найдите наибольшее значение функции \(f(x) = \sin^{14} x + \cos^{14} x\).
Решение:
Так как \(0 \leqslant \sin^2 x \leqslant 1\), то \(\sin^{12} x = (\sin^2 x)^6 \leqslant 1\) и \(\sin^{14} x = \sin^2 x \cdot \sin^{12} x \leqslant \sin^2 x\). Аналогично \(\cos^{14} x \leqslant \cos^2 x\). Сложив эти неравенства, получим, что при любом \(x\) \[f(x) = \sin^{14} x + \cos^{14} x \leqslant \sin^2 x + \cos^2 x = 1.\] При этом \(f(0) = \sin^{14} 0 + \cos^{14} 0 = 0 + 1 = 1\). Значит, \(\max\limits_{\mathbf{R}} f(x) = f(0) = 1\).
Ответ: наибольшее значение \(1\).
