Страница 173 номер 23.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения: 1) \(3\sin^2 \alpha + 2\cos \alpha\); 2) \(1 + \sqrt{\sin^2 \alpha} + 2\cos^2 \alpha\); 3) \(2\sin^2 \alpha + 3\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha\).
1) \[3\sin^2\alpha + 2\cos\alpha = 3(1 - \cos^2\alpha) + 2\cos\alpha = -3\cos^2\alpha + 2\cos\alpha + 3.\] Обозначим \(\cos\alpha = t\); \(t\) принимает все значения из промежутка \([-1;\ 1]\) и только их. Функция \(f(t) = -3t^2 + 2t + 3\) — квадратичная со старшим коэффициентом \(a = -3 < 0\), наибольшее значение она принимает в вершине параболы \(t_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-3)} = \frac{1}{3}\), принадлежащей промежутку \([-1;\ 1]\): \[\max\limits_{[-1;\ 1]} f(t) = f\left(\frac{1}{3}\right) = -3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} + 3 = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}.\] На промежутке \(\left[-1;\ \frac{1}{3}\right]\) функция возрастает, на \(\left[\frac{1}{3};\ 1\right]\) убывает, поэтому наименьшее значение она принимает на одном из концов промежутка \([-1;\ 1]\): \(f(-1) = -3 - 2 + 3 = -2\), \(f(1) = -3 + 2 + 3 = 2\), откуда \(\min\limits_{[-1;\ 1]} f(t) = -2\). Наибольшее значение выражение принимает при \(\cos\alpha = \frac{1}{3}\), наименьшее — при \(\cos\alpha = -1\).
2) \(\sqrt{\sin^2\alpha} = |\sin\alpha|\), \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - |\sin\alpha|^2\): \[\begin{aligned} &1 + \sqrt{\sin^2\alpha} + 2\cos^2\alpha = 1 + |\sin\alpha| + 2(1 - |\sin\alpha|^2) = {} \\ &= -2|\sin\alpha|^2 + |\sin\alpha| + 3. \end{aligned}\] Обозначим \(|\sin\alpha| = t\); \(t\) принимает все значения из промежутка \([0;\ 1]\) и только их. Функция \(f(t) = -2t^2 + t + 3\) — квадратичная со старшим коэффициентом \(a = -2 < 0\), наибольшее значение она принимает в вершине параболы \(t_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{4}\), принадлежащей промежутку \([0;\ 1]\): \[\max\limits_{[0;\ 1]} f(t) = f\left(\frac{1}{4}\right) = -2 \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + 3 = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8}.\] На промежутке \(\left[0;\ \frac{1}{4}\right]\) функция возрастает, на \(\left[\frac{1}{4};\ 1\right]\) убывает, поэтому наименьшее значение она принимает на одном из концов промежутка \([0;\ 1]\): \(f(0) = 3\), \(f(1) = -2 + 1 + 3 = 2\), откуда \(\min\limits_{[0;\ 1]} f(t) = 2\). Наибольшее значение выражение принимает при \(|\sin\alpha| = \frac{1}{4}\), наименьшее — при \(|\sin\alpha| = 1\).
3) Выражение имеет смысл при \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\), то есть при \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\), и при таких \(\alpha\) верно равенство \(\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = 1\): \[2\sin^2\alpha + 3\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = 2\sin^2\alpha + 3.\] При \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\) имеем \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\sin\alpha \ne \pm 1\), то есть \(0 < \sin^2\alpha < 1\), и \(\sin^2\alpha\) принимает все значения из интервала \((0;\ 1)\): уже при \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) синус принимает все значения из этого интервала. Значит, \(2\sin^2\alpha + 3\) принимает все значения из интервала \((3;\ 5)\) и только их, а в этом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего числа, поэтому у выражения нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Ответ: 1) наибольшее значение \(3\frac{1}{3}\), наименьшее \(-2\); 2) наибольшее значение \(3\frac{1}{8}\), наименьшее \(2\); 3) ни наибольшего, ни наименьшего значения нет.
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения: 1) \(3\sin^2 \alpha + 2\cos \alpha\); 2) \(1 + \sqrt{\sin^2 \alpha} + 2\cos^2 \alpha\); 3) \(2\sin^2 \alpha + 3\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha\).
1) Так как \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha\), то \[3\sin^2\alpha + 2\cos\alpha = 3(1 - \cos^2\alpha) + 2\cos\alpha = -3\cos^2\alpha + 2\cos\alpha + 3.\] Обозначим \(\cos\alpha = t\); \(t\) принимает все значения из промежутка \([-1;\ 1]\) и только их. Функция \(f(t) = -3t^2 + 2t + 3\) — квадратичная со старшим коэффициентом \(a = -3 < 0\). Она принимает наибольшее значение в вершине параболы \(t_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-3)} = \frac{1}{3}\), принадлежащей промежутку \([-1;\ 1]\). Следовательно, \[\max\limits_{[-1;\ 1]} f(t) = f\left(\frac{1}{3}\right) = -3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} + 3 = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}.\] На промежутке \(\left[-1;\ \frac{1}{3}\right]\) функция возрастает, а на промежутке \(\left[\frac{1}{3};\ 1\right]\) убывает, поэтому наименьшее значение она принимает на одном из концов промежутка \([-1;\ 1]\): \(f(-1) = -3 - 2 + 3 = -2\), \(f(1) = -3 + 2 + 3 = 2\). Следовательно, \(\min\limits_{[-1;\ 1]} f(t) = -2\). Наибольшее значение выражение принимает при \(\cos\alpha = \frac{1}{3}\), наименьшее — при \(\cos\alpha = -1\).
2) Так как \(\sqrt{\sin^2\alpha} = |\sin\alpha|\) и \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - |\sin\alpha|^2\), то \[\begin{aligned} &1 + \sqrt{\sin^2\alpha} + 2\cos^2\alpha = 1 + |\sin\alpha| + 2(1 - |\sin\alpha|^2) = {} \\ &= -2|\sin\alpha|^2 + |\sin\alpha| + 3. \end{aligned}\] Обозначим \(|\sin\alpha| = t\); \(t\) принимает все значения из промежутка \([0;\ 1]\) и только их. Функция \(f(t) = -2t^2 + t + 3\) — квадратичная со старшим коэффициентом \(a = -2 < 0\). Она принимает наибольшее значение в вершине параболы \(t_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{4}\), принадлежащей промежутку \([0;\ 1]\). Следовательно, \[\max\limits_{[0;\ 1]} f(t) = f\left(\frac{1}{4}\right) = -2 \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + 3 = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8}.\] На промежутке \(\left[0;\ \frac{1}{4}\right]\) функция возрастает, а на промежутке \(\left[\frac{1}{4};\ 1\right]\) убывает, поэтому наименьшее значение она принимает на одном из концов промежутка \([0;\ 1]\): \(f(0) = 3\), \(f(1) = -2 + 1 + 3 = 2\). Следовательно, \(\min\limits_{[0;\ 1]} f(t) = 2\). Наибольшее значение выражение принимает при \(|\sin\alpha| = \frac{1}{4}\), наименьшее — при \(|\sin\alpha| = 1\).
3) Выражение имеет смысл при \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\), то есть при \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\), и при таких значениях \(\alpha\) верно равенство \(\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = 1\): \[2\sin^2\alpha + 3\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = 2\sin^2\alpha + 3.\] При \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\) имеем \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\sin\alpha \ne \pm 1\), то есть \(0 < \sin^2\alpha < 1\), и \(\sin^2\alpha\) принимает все значения из интервала \((0;\ 1)\): уже при \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) синус принимает все значения из этого интервала. Значит, выражение \(2\sin^2\alpha + 3\) принимает все значения из интервала \((3;\ 5)\) и только их. В интервале \((3;\ 5)\) нет ни наибольшего, ни наименьшего числа, поэтому у выражения нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Ответ: 1) наибольшее значение \(3\frac{1}{3}\), наименьшее \(-2\); 2) наибольшее значение \(3\frac{1}{8}\), наименьшее \(2\); 3) ни наибольшего, ни наименьшего значения нет.
