Страница 179 номер 24.21, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите тождество: 1) \(\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta\); 2) \(\frac{\operatorname{tg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\beta}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha \operatorname{tg}^2\beta} = \operatorname{tg}(\alpha + \beta)\operatorname{tg}(\alpha - \beta)\); 3) \(\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha + \beta)} + \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha - \beta)} + 2\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{2}{\cos^2\alpha}\).
1) \[\begin{aligned} &\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = {} \\ &= (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) = {} \\ &= \sin^2\alpha\cos^2\beta - \cos^2\alpha\sin^2\beta = {} \\ &= \sin^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \sin^2\alpha)\sin^2\beta = \sin^2\alpha - \sin^2\beta. \end{aligned}\]
2) Обе части имеют смысл, когда \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\) (иначе \(\operatorname{tg}\alpha\) или \(\operatorname{tg}\beta\) не определён), \(\cos(\alpha + \beta) \ne 0\), \(\cos(\alpha - \beta) \ne 0\) и знаменатель левой части не равен нулю. \[\begin{aligned} &\frac{\operatorname{tg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\beta}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha\operatorname{tg}^2\beta} = \frac{(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta)}{(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta)(1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta)} = {} \\ &= \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} \cdot \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} = \operatorname{tg}(\alpha + \beta)\operatorname{tg}(\alpha - \beta). \end{aligned}\]
3) Левая часть имеет смысл, когда определены \(\operatorname{tg}\alpha\), \(\operatorname{tg}\beta\), \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta)\), \(\operatorname{tg}(\alpha - \beta)\), то есть \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\), \(\cos(\alpha + \beta) \ne 0\), \(\cos(\alpha - \beta) \ne 0\), и при этом \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta) \ne 0\), \(\operatorname{tg}(\alpha - \beta) \ne 0\). При этих условиях \(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta = \operatorname{tg}(\alpha + \beta)(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta)\) и \(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta = \operatorname{tg}(\alpha - \beta)(1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta)\), откуда \[\begin{aligned} \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha + \beta)} &= 1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta; \\ \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha - \beta)} &= 1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta. \end{aligned}\] Тогда \[\begin{aligned} &\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha + \beta)} + \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha - \beta)} + 2\operatorname{tg}^2\alpha = {} \\ &= 1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta + 1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta + 2\operatorname{tg}^2\alpha = {} \\ &= 2(1 + \operatorname{tg}^2\alpha) = \frac{2}{\cos^2\alpha}. \end{aligned}\]
Ответ: тождества доказаны.
Докажите тождество: 1) \(\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta\); 2) \(\frac{\operatorname{tg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\beta}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha \operatorname{tg}^2\beta} = \operatorname{tg}(\alpha + \beta)\operatorname{tg}(\alpha - \beta)\); 3) \(\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha + \beta)} + \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha - \beta)} + 2\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{2}{\cos^2\alpha}\).
1) По формулам синуса суммы и синуса разности, формуле разности квадратов и основному тригонометрическому тождеству \[\begin{aligned} &\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = {} \\ &= (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) = {} \\ &= \sin^2\alpha\cos^2\beta - \cos^2\alpha\sin^2\beta = {} \\ &= \sin^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \sin^2\alpha)\sin^2\beta = \sin^2\alpha - \sin^2\beta. \end{aligned}\]
2) Рассмотрим значения \(\alpha\) и \(\beta\), при которых обе части имеют смысл: \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\) (иначе \(\operatorname{tg}\alpha\) или \(\operatorname{tg}\beta\) не определён), \(\cos(\alpha + \beta) \ne 0\), \(\cos(\alpha - \beta) \ne 0\) и знаменатель левой части не равен нулю. Разложим числитель и знаменатель левой части на множители по формуле разности квадратов и воспользуемся формулами тангенса суммы и тангенса разности: \[\begin{aligned} &\frac{\operatorname{tg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\beta}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha\operatorname{tg}^2\beta} = \frac{(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta)}{(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta)(1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta)} = {} \\ &= \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} \cdot \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} = \operatorname{tg}(\alpha + \beta)\operatorname{tg}(\alpha - \beta). \end{aligned}\]
3) Левая часть имеет смысл, когда определены \(\operatorname{tg}\alpha\), \(\operatorname{tg}\beta\), \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta)\), \(\operatorname{tg}(\alpha - \beta)\), то есть \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\), \(\cos(\alpha + \beta) \ne 0\), \(\cos(\alpha - \beta) \ne 0\), и при этом \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta) \ne 0\), \(\operatorname{tg}(\alpha - \beta) \ne 0\). При этих условиях из формулы тангенса суммы следует, что \(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta = \operatorname{tg}(\alpha + \beta)(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta)\), а из формулы тангенса разности — что \(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta = \operatorname{tg}(\alpha - \beta)(1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta)\). Разделив эти равенства на \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta)\) и \(\operatorname{tg}(\alpha - \beta)\) соответственно, получим: \[\begin{aligned} \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha + \beta)} &= 1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta; \\ \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha - \beta)} &= 1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta. \end{aligned}\] Тогда, учитывая тождество \(1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}\), получаем: \[\begin{aligned} &\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha + \beta)} + \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha - \beta)} + 2\operatorname{tg}^2\alpha = {} \\ &= 1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta + 1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta + 2\operatorname{tg}^2\alpha = {} \\ &= 2(1 + \operatorname{tg}^2\alpha) = \frac{2}{\cos^2\alpha}. \end{aligned}\]
Ответ: тождества доказаны.
