Страница 179 номер 24.24, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Найдите наибольшее значение выражения: 1) \(\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha\); 2) \(\sqrt{5}\cos\alpha - 2\sqrt{5}\sin\alpha\); 3) \(3\sin\alpha + \cos\alpha\).
1) \[\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha\right).\] Так как \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}\), \(\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}\), то \[\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = 2\left(\cos\alpha\cos\frac{\pi}{6} - \sin\alpha\sin\frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right).\] Так как \(\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) \leqslant 1\), наибольшее значение выражения равно \(2\) (его выражение принимает при \(\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = 1\), например при \(\alpha = -\frac{\pi}{6}\)).
2) Так как \((\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 25\), то \[\sqrt{5}\cos\alpha - 2\sqrt{5}\sin\alpha = 5\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\cos\alpha - \frac{2\sqrt{5}}{5}\sin\alpha\right).\] Точка \(\left(\frac{\sqrt{5}}{5};\ \frac{2\sqrt{5}}{5}\right)\) лежит на единичной окружности, так как \(\frac{5}{25} + \frac{20}{25} = 1\); значит, существует угол \(\varphi\), для которого \(\cos\varphi = \frac{\sqrt{5}}{5}\), \(\sin\varphi = \frac{2\sqrt{5}}{5}\). Тогда \[\sqrt{5}\cos\alpha - 2\sqrt{5}\sin\alpha = 5(\cos\alpha\cos\varphi - \sin\alpha\sin\varphi) = 5\cos(\alpha + \varphi).\] Так как \(\cos(\alpha + \varphi) \leqslant 1\), наибольшее значение выражения равно \(5\) (его выражение принимает при \(\cos(\alpha + \varphi) = 1\), например при \(\alpha = -\varphi\)).
3) Так как \(3^2 + 1^2 = 10\), то \[3\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{10}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\sin\alpha + \frac{1}{\sqrt{10}}\cos\alpha\right).\] Точка \(\left(\frac{3}{\sqrt{10}};\ \frac{1}{\sqrt{10}}\right)\) лежит на единичной окружности, так как \(\frac{9}{10} + \frac{1}{10} = 1\); значит, существует угол \(\varphi\), для которого \(\cos\varphi = \frac{3}{\sqrt{10}}\), \(\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{10}}\). Тогда \[3\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{10}(\sin\alpha\cos\varphi + \cos\alpha\sin\varphi) = \sqrt{10}\sin(\alpha + \varphi).\] Так как \(\sin(\alpha + \varphi) \leqslant 1\), наибольшее значение выражения равно \(\sqrt{10}\) (его выражение принимает при \(\sin(\alpha + \varphi) = 1\), например при \(\alpha = \frac{\pi}{2} - \varphi\)).
Ответ: наибольшее значение: 1) \(2\); 2) \(5\); 3) \(\sqrt{10}\).
Найдите наибольшее значение выражения: 1) \(\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha\); 2) \(\sqrt{5}\cos\alpha - 2\sqrt{5}\sin\alpha\); 3) \(3\sin\alpha + \cos\alpha\).
1) Умножим и разделим выражение на 2: \[\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha\right).\] Учитывая, что \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}\), \(\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}\), по формуле косинуса суммы получаем: \[\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = 2\left(\cos\alpha\cos\frac{\pi}{6} - \sin\alpha\sin\frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right).\] Так как \(\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) \leqslant 1\), наибольшее значение выражения равно \(2\) (его выражение принимает при \(\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = 1\), например при \(\alpha = -\frac{\pi}{6}\)).
2) Так как \((\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 25\), умножим и разделим выражение на \(5\): \[\sqrt{5}\cos\alpha - 2\sqrt{5}\sin\alpha = 5\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\cos\alpha - \frac{2\sqrt{5}}{5}\sin\alpha\right).\] Точка \(\left(\frac{\sqrt{5}}{5};\ \frac{2\sqrt{5}}{5}\right)\) лежит на единичной окружности, так как \(\frac{5}{25} + \frac{20}{25} = 1\); значит, существует угол \(\varphi\), для которого \(\cos\varphi = \frac{\sqrt{5}}{5}\), \(\sin\varphi = \frac{2\sqrt{5}}{5}\). Тогда по формуле косинуса суммы \[\sqrt{5}\cos\alpha - 2\sqrt{5}\sin\alpha = 5(\cos\alpha\cos\varphi - \sin\alpha\sin\varphi) = 5\cos(\alpha + \varphi).\] Так как \(\cos(\alpha + \varphi) \leqslant 1\), наибольшее значение выражения равно \(5\) (его выражение принимает при \(\cos(\alpha + \varphi) = 1\), например при \(\alpha = -\varphi\)).
3) Так как \(3^2 + 1^2 = 10\), умножим и разделим выражение на \(\sqrt{10}\): \[3\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{10}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\sin\alpha + \frac{1}{\sqrt{10}}\cos\alpha\right).\] Точка \(\left(\frac{3}{\sqrt{10}};\ \frac{1}{\sqrt{10}}\right)\) лежит на единичной окружности, так как \(\frac{9}{10} + \frac{1}{10} = 1\); значит, существует угол \(\varphi\), для которого \(\cos\varphi = \frac{3}{\sqrt{10}}\), \(\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{10}}\). Тогда по формуле синуса суммы \[3\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{10}(\sin\alpha\cos\varphi + \cos\alpha\sin\varphi) = \sqrt{10}\sin(\alpha + \varphi).\] Так как \(\sin(\alpha + \varphi) \leqslant 1\), наибольшее значение выражения равно \(\sqrt{10}\) (его выражение принимает при \(\sin(\alpha + \varphi) = 1\), например при \(\alpha = \frac{\pi}{2} - \varphi\)).
Ответ: наибольшее значение: 1) \(2\); 2) \(5\); 3) \(\sqrt{10}\).
