Страница 173 номер 23.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения: 1) \(2\cos^2 \alpha - 3\sin \alpha\); 2) \(\operatorname{tg}^2 \alpha + \frac{1}{\cos \alpha}\); 3) \(1 - \sqrt{\cos^2 \alpha} - 2\sin^2 \alpha\); 4) \(3\cos^2 \alpha - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha\).
1) \[2\cos^2\alpha - 3\sin\alpha = 2(1 - \sin^2\alpha) - 3\sin\alpha = -2\sin^2\alpha - 3\sin\alpha + 2.\] Обозначим \(\sin\alpha = t\); \(t\) принимает все значения из промежутка \([-1;\ 1]\) и только их. Функция \(f(t) = -2t^2 - 3t + 2\) — квадратичная со старшим коэффициентом \(a = -2 < 0\), наибольшее значение она принимает в вершине параболы \(t_0 = -\frac{-3}{2 \cdot (-2)} = -\frac{3}{4}\), принадлежащей промежутку \([-1;\ 1]\): \[\max\limits_{[-1;\ 1]} f(t) = f\left(-\frac{3}{4}\right) = -2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{9}{4} + 2 = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8}.\] На промежутке \(\left[-1;\ -\frac{3}{4}\right]\) функция возрастает, на \(\left[-\frac{3}{4};\ 1\right]\) убывает, поэтому наименьшее значение она принимает на одном из концов промежутка \([-1;\ 1]\): \(f(-1) = -2 + 3 + 2 = 3\), \(f(1) = -2 - 3 + 2 = -3\), откуда \(\min\limits_{[-1;\ 1]} f(t) = -3\). Наибольшее значение выражение принимает при \(\sin\alpha = -\frac{3}{4}\), наименьшее — при \(\sin\alpha = 1\).
2) Выражение имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\), и тогда \(\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1\): \[\operatorname{tg}^2\alpha + \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha} + \frac{1}{\cos\alpha} - 1.\] Обозначим \(\frac{1}{\cos\alpha} = t\). Косинус принимает все значения из промежутков \([-1;\ 0)\) и \((0;\ 1]\), поэтому \(t\) принимает все значения из промежутков \((-\infty;\ -1]\) и \([1;\ +\infty)\) и только их. График функции \(f(t) = t^2 + t - 1\) — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке с абсциссой \(t_0 = -\frac{1}{2}\), которая этим промежуткам не принадлежит. На \((-\infty;\ -1]\) функция убывает, на \([1;\ +\infty)\) возрастает, поэтому наименьшие значения на них равны \(f(-1) = 1 - 1 - 1 = -1\) и \(f(1) = 1 + 1 - 1 = 1\). Значит, наименьшее значение выражения равно \(-1\); выражение принимает его при \(\cos\alpha = -1\).
Наибольшего значения нет: при \(t \geqslant 1\) имеем \(t^2 \geqslant 1\), поэтому \(f(t) = t^2 + t - 1 \geqslant t\), а \(t\) принимает любые значения, не меньшие \(1\).
3) \(\sqrt{\cos^2\alpha} = |\cos\alpha|\), \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - |\cos\alpha|^2\): \[\begin{aligned} &1 - \sqrt{\cos^2\alpha} - 2\sin^2\alpha = 1 - |\cos\alpha| - 2(1 - |\cos\alpha|^2) = {} \\ &= 2|\cos\alpha|^2 - |\cos\alpha| - 1. \end{aligned}\] Обозначим \(|\cos\alpha| = t\); \(t\) принимает все значения из промежутка \([0;\ 1]\) и только их. Функция \(f(t) = 2t^2 - t - 1\) — квадратичная со старшим коэффициентом \(a = 2 > 0\), наименьшее значение она принимает в вершине параболы \(t_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}\), принадлежащей промежутку \([0;\ 1]\): \[\min\limits_{[0;\ 1]} f(t) = f\left(\frac{1}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - 1 = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8}.\] На промежутке \(\left[0;\ \frac{1}{4}\right]\) функция убывает, на \(\left[\frac{1}{4};\ 1\right]\) возрастает, поэтому наибольшее значение она принимает на одном из концов промежутка \([0;\ 1]\): \(f(0) = -1\), \(f(1) = 2 - 1 - 1 = 0\), откуда \(\max\limits_{[0;\ 1]} f(t) = 0\). Наибольшее значение выражение принимает при \(|\cos\alpha| = 1\), наименьшее — при \(|\cos\alpha| = \frac{1}{4}\).
4) Выражение имеет смысл при \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\), то есть при \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\), и при таких \(\alpha\) верно равенство \(\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = 1\): \[3\cos^2\alpha - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = 3\cos^2\alpha - 1.\] При \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\) имеем \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne \pm 1\), то есть \(0 < \cos^2\alpha < 1\), и \(\cos^2\alpha\) принимает все значения из интервала \((0;\ 1)\): уже при \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) косинус принимает все значения из этого интервала. Значит, \(3\cos^2\alpha - 1\) принимает все значения из интервала \((-1;\ 2)\) и только их, а в этом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего числа, поэтому у выражения нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Ответ: 1) наибольшее значение \(3\frac{1}{8}\), наименьшее \(-3\); 2) наибольшего значения нет, наименьшее \(-1\); 3) наибольшее значение \(0\), наименьшее \(-1\frac{1}{8}\); 4) ни наибольшего, ни наименьшего значения нет.
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения: 1) \(2\cos^2 \alpha - 3\sin \alpha\); 2) \(\operatorname{tg}^2 \alpha + \frac{1}{\cos \alpha}\); 3) \(1 - \sqrt{\cos^2 \alpha} - 2\sin^2 \alpha\); 4) \(3\cos^2 \alpha - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha\).
1) Так как \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\), то \[2\cos^2\alpha - 3\sin\alpha = 2(1 - \sin^2\alpha) - 3\sin\alpha = -2\sin^2\alpha - 3\sin\alpha + 2.\] Обозначим \(\sin\alpha = t\). Синус принимает все значения из промежутка \([-1;\ 1]\) и только их, поэтому наибольшее и наименьшее значения выражения равны наибольшему и наименьшему значениям функции \(f(t) = -2t^2 - 3t + 2\) на промежутке \([-1;\ 1]\). Это квадратичная функция со старшим коэффициентом \(a = -2 < 0\). Она принимает наибольшее значение в вершине параболы \(t_0 = -\frac{-3}{2 \cdot (-2)} = -\frac{3}{4}\), принадлежащей промежутку \([-1;\ 1]\). Следовательно, \[\max\limits_{[-1;\ 1]} f(t) = f\left(-\frac{3}{4}\right) = -2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{9}{4} + 2 = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8}.\] На промежутке \(\left[-1;\ -\frac{3}{4}\right]\) функция возрастает, а на промежутке \(\left[-\frac{3}{4};\ 1\right]\) убывает, поэтому наименьшее значение она принимает на одном из концов промежутка \([-1;\ 1]\): \(f(-1) = -2 + 3 + 2 = 3\), \(f(1) = -2 - 3 + 2 = -3\). Следовательно, \(\min\limits_{[-1;\ 1]} f(t) = -3\). Наибольшее значение выражение принимает при \(\sin\alpha = -\frac{3}{4}\), наименьшее — при \(\sin\alpha = 1\).
2) Выражение имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\), и тогда \(\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1\): \[\operatorname{tg}^2\alpha + \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha} + \frac{1}{\cos\alpha} - 1.\] Обозначим \(\frac{1}{\cos\alpha} = t\). Косинус принимает все значения из промежутков \([-1;\ 0)\) и \((0;\ 1]\), поэтому \(t\) принимает все значения из промежутков \((-\infty;\ -1]\) и \([1;\ +\infty)\) и только их. Рассмотрим на этих промежутках функцию \(f(t) = t^2 + t - 1\). Её график — парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке с абсциссой \(t_0 = -\frac{1}{2}\), которая этим промежуткам не принадлежит. На промежутке \((-\infty;\ -1]\) функция убывает, а на промежутке \([1;\ +\infty)\) возрастает, поэтому наименьшие значения на них равны \(f(-1) = 1 - 1 - 1 = -1\) и \(f(1) = 1 + 1 - 1 = 1\). Значит, наименьшее значение выражения равно \(-1\); выражение принимает его при \(\cos\alpha = -1\).
Наибольшего значения нет: при \(t \geqslant 1\) имеем \(t^2 \geqslant 1\), поэтому \(f(t) = t^2 + t - 1 \geqslant t\), а \(t\) принимает любые значения, не меньшие \(1\). Значит, выражение принимает значения, большие любого наперёд заданного числа.
3) Так как \(\sqrt{\cos^2\alpha} = |\cos\alpha|\) и \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - |\cos\alpha|^2\), то \[\begin{aligned} &1 - \sqrt{\cos^2\alpha} - 2\sin^2\alpha = 1 - |\cos\alpha| - 2(1 - |\cos\alpha|^2) = {} \\ &= 2|\cos\alpha|^2 - |\cos\alpha| - 1. \end{aligned}\] Обозначим \(|\cos\alpha| = t\); \(t\) принимает все значения из промежутка \([0;\ 1]\) и только их. Функция \(f(t) = 2t^2 - t - 1\) — квадратичная со старшим коэффициентом \(a = 2 > 0\). Она принимает наименьшее значение в вершине параболы \(t_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}\), принадлежащей промежутку \([0;\ 1]\). Следовательно, \[\min\limits_{[0;\ 1]} f(t) = f\left(\frac{1}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - 1 = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8}.\] На промежутке \(\left[0;\ \frac{1}{4}\right]\) функция убывает, а на промежутке \(\left[\frac{1}{4};\ 1\right]\) возрастает, поэтому наибольшее значение она принимает на одном из концов промежутка \([0;\ 1]\): \(f(0) = -1\), \(f(1) = 2 - 1 - 1 = 0\). Следовательно, \(\max\limits_{[0;\ 1]} f(t) = 0\). Наибольшее значение выражение принимает при \(|\cos\alpha| = 1\), наименьшее — при \(|\cos\alpha| = \frac{1}{4}\).
4) Выражение имеет смысл при \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne 0\), то есть при \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\), и при таких значениях \(\alpha\) верно равенство \(\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = 1\): \[3\cos^2\alpha - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = 3\cos^2\alpha - 1.\] При \(\alpha \ne \frac{\pi k}{2}\) имеем \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\cos\alpha \ne \pm 1\), то есть \(0 < \cos^2\alpha < 1\), и \(\cos^2\alpha\) принимает все значения из интервала \((0;\ 1)\): уже при \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) косинус принимает все значения из этого интервала. Значит, выражение \(3\cos^2\alpha - 1\) принимает все значения из интервала \((-1;\ 2)\) и только их. В интервале \((-1;\ 2)\) нет ни наибольшего, ни наименьшего числа, поэтому у выражения нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Ответ: 1) наибольшее значение \(3\frac{1}{8}\), наименьшее \(-3\); 2) наибольшего значения нет, наименьшее \(-1\); 3) наибольшее значение \(0\), наименьшее \(-1\frac{1}{8}\); 4) ни наибольшего, ни наименьшего значения нет.
