Страница 179 номер 24.22, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите тождество: 1) \(\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta\); 2) \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta) - (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) - \operatorname{tg}(\alpha + \beta)\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta = 0\).
1) \[\begin{aligned} &\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = {} \\ &= (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) = {} \\ &= \cos^2\alpha\cos^2\beta - \sin^2\alpha\sin^2\beta = {} \\ &= \cos^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \cos^2\alpha)\sin^2\beta = \cos^2\alpha - \sin^2\beta. \end{aligned}\]
2) Левая часть имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\) и \(\cos(\alpha + \beta) \ne 0\) (иначе не определён \(\operatorname{tg}\alpha\), \(\operatorname{tg}\beta\) или \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta)\)). При этих условиях \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta)(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta) = \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta\). Тогда \[\begin{aligned} &\operatorname{tg}(\alpha + \beta) - (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) - \operatorname{tg}(\alpha + \beta)\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta = {} \\ &= \operatorname{tg}(\alpha + \beta)(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta) - (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) = {} \\ &= (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) - (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) = 0. \end{aligned}\]
Ответ: тождества доказаны.
Докажите тождество: 1) \(\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta\); 2) \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta) - (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) - \operatorname{tg}(\alpha + \beta)\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta = 0\).
1) По формулам косинуса суммы и косинуса разности, формуле разности квадратов и основному тригонометрическому тождеству \[\begin{aligned} &\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = {} \\ &= (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) = {} \\ &= \cos^2\alpha\cos^2\beta - \sin^2\alpha\sin^2\beta = {} \\ &= \cos^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \cos^2\alpha)\sin^2\beta = \cos^2\alpha - \sin^2\beta. \end{aligned}\]
2) Левая часть имеет смысл при \(\cos\alpha \ne 0\), \(\cos\beta \ne 0\) и \(\cos(\alpha + \beta) \ne 0\) (иначе не определён \(\operatorname{tg}\alpha\), \(\operatorname{tg}\beta\) или \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta)\)). При этих условиях верна формула тангенса суммы, из которой следует, что \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta)(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta) = \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta\). Тогда \[\begin{aligned} &\operatorname{tg}(\alpha + \beta) - (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) - \operatorname{tg}(\alpha + \beta)\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta = {} \\ &= \operatorname{tg}(\alpha + \beta)(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta) - (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) = {} \\ &= (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) - (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) = 0. \end{aligned}\]
Ответ: тождества доказаны.
